Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.25

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars, 1899 (3, p. 88-139).

CHAPITRE XXV.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

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Retour sur la méthode de Bohlin.

273.Je suis obligé, avant d’aller plus loin, de compléter quelques-uns des résultats des Chapitres VII, XIX et XX. Je veux d’abord résumer les résultats que je veux comparer et qui vont me servir de point de, départ.

Au Chapitre VII nous avons vu que si un système

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

admet une solution périodique

(2)

$x_{i}=x_{i}^{0},$

et si l’on pose

$x_{i}=x_{i}^{0}+\xi _{i},$

les $\xi _{i}$ seront développables suivant les puissances croissantes de

(3)

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t},$

les coefficients étant des fonctions périodiques de $t\,;$ les $\mathrm {A} _{i}$ sont des constantes d’intégration, les $\alpha _{i}$ sont les exposants caractéristiques de la solution périodique (2).

Les séries satisfont toujours formellement aux équations (1) ; elles sont convergentes à certaines conditions que nous avons énoncées au n^o 105.

Il y a exception dans le cas où nous pouvons avoir entre les exposants $\alpha ,$ une relation de la forme

(4)

$\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}=0$

les coefficients $\beta$ étant entiers, positifs ou nuls, le coefficient $\gamma$

entier positif ou négatif. (Cf. t. 1, p. 338, ligne 5 ; en écrivant cette relation, j’ai supposé que l’unité de temps était choisie de

telle sorte que la période de la solution (2) soit égale à $2\pi .$)

S’il y a une relation de la forme (4), les $\xi$ ne seront plus développables suivant les puissances des quantités (3), mais suivant les puissances de ces quantités (3) et de $t.$

C’est précisément ce qui arrive si les équations (1) ont la forme canonique des équations de la Dynamique. Dans ce cas, en effet, deux des exposants sont nuls et les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire.

Dans le cas des équations de la Dynamique [ou plus généralement quand il y a une relation de la forme (4)], nous avons pu encore obtenir un résultat ; il suffit de donner aux constantes d’intégration $\mathrm {A}$ des valeurs particulières de façon à annuler celles de ces constantes qui correspondent à un exposant nul, et l’une des deux qui correspondent à chaque couple d’exposants égaux et de signe contraire. [Plus généralement on annulerait la constante A correspondant à l’un des exposants qui figurent dans la relation de la forme (4) ; de telle façon qu’entre les exposants correspondant aux constantes A qui ne sont pas nulles, il n’y ait plus de relation de cette forme.]

Par exemple si

${\begin{aligned}\alpha _{1}=\alpha _{2}&=0,&\alpha _{3}&=-\alpha _{4},&\alpha _{5}&=-\alpha _{6},&&\ldots ,\\\alpha _{n-1}&=-\alpha _{n}&(n\;&\mathrm {pair} ),\end{aligned}}$

on fera

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=\mathrm {A} _{2}&=0,&\mathrm {A} _{3}&=0,&\mathrm {A} _{5}&=0,&&\ldots ,&\mathrm {A} _{n-1}=0.\end{aligned}}$

Les $\xi$ seront alors encore développables suivant les puissances de celles des quantités (3) qui ne sont pas nulles ; seulement on n’aura plus ainsi la solution générale des équations (1), mais une solution particulière dépendant d’un nombre de constantes arbitraires inférieur à $n$ (à savoir ${\frac {n-\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}}$ dans le cas général des équations de la Dynamique).

C’est ainsi que nous sommes arrivés aux solutions asymptotiques : nous y sommes parvenu en annulant un certain nombre de constantes $\mathrm {A} ,$ non seulement celles que nous avons égalées à zéro pour la raison que je viens de dire, mais celles que nous avons dû annuler pour satisfaire aux conditions de convergence du n^o 105.

Je ne m’occupe pas pour le moment du développement des $\xi$ suivant les puissances de $\mu$ ou de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$

Au Chapitre XIX j’ai étudié la méthode de M. Bohlin, qui n’est au fond qu’une application de la méthode de Jacobi, puisque le problème est ramené à la recherche d’une fonction $\mathrm {S}$ satisfaisant à une équation aux dérivées partielles. Seulement cette fonction $\mathrm {S}$ est mise sous une forme qui est particulièrement appropriée au cas où il y a approximativement entre les moyens mouvements une relation linéaire à coefficients entiers. Les cas qui doivent nous intéresser le plus sont ceux qui sont voisins de celui que j’ai appelé le cas limite (n^o 207). Nous avons vu dans ce numéro que la fonction $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ sous la forme

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\mathrm {S} _{1}+\mu \mathrm {S} _{2}+\ldots$

et que

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{k}}}$

est périodique de période $2\pi$ par rapport à

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}$

(en reprenant les notations du numéro cité).

Mais les résultats peuvent être simplifiés par le changement de variables exposé aux n^os 209 et 210.

Au n^o 206 j’ai défini $n+1$ fonctions

$\eta ,\quad \zeta ,\quad \xi _{i}$

périodiques par rapport aux variables

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n},$

et que j’ai regardées comme des généralisations des solutions périodiques.

Nous avons posé ensuite au n^o 210

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+\eta ,&y_{1}'&=y_{1}-\zeta ,&y_{i}'&=y_{i}'\quad (i>1)\end{aligned}}$

$x_{i}=x_{i}'+\xi _{i}+y_{1}'\,{\frac {d\eta }{dy_{i}}}-x_{1}'\,{\frac {d\zeta }{dy_{i}}}\cdot$

Avec les nouvelles variables $x_{i}',y_{i}'$ les équations conservent la forme canonique ; seulement les nouvelles équations admettront les relations invariantes suivantes

$x_{1}'=x_{i}'=y_{1}'=0,$

qui pourront par rapport aux nouvelles équations canoniques être regardées comme des généralisations des solutions périodiques au même titre que

${\begin{aligned}x_{1}&=\eta ,&y_{1}&=\zeta ,&x_{i}&=\xi _{i},\end{aligned}}$

pour les anciennes.

Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer que nos équations canoniques admettent comme relations invariantes

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0.$

S’il en est ainsi, nous avons vu au n^o 210 que $y_{1}=0$ est un zéro simple pour les dérivées ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ et un zéro double pour les dérivées ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\;(i>1).$

Ainsi $\mathrm {S} ,$ ou plutôt $\mathrm {S} -\mathrm {S} _{0}$ peut se développer suivant les puissances de $y_{1}$ et le développement commencera par un terme du deuxième degré ; nous aurons

(5)

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\Sigma _{2}y_{1}^{2}+\Sigma _{3}y_{1}^{3}+\Sigma _{4}y_{1}^{4}+\ldots$

les $\Sigma$ étant des séries dépendant de $y_{2},$ $y_{3},\,\ldots ,$ $y_{n}$ et développées suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,;$ on voit en outre que les $\Sigma$ sont des fonctions périodiques de $y_{2},$ $y_{3},\,\ldots ,\,y_{n}.$

Cela malheureusement ne nous suffit pas pour notre objet.

La fonction $\mathrm {S}$ définie par l’équation (5) ne dépend, en effet, que de $n-1$ constantes arbitraires

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},$

tandis qu’il en faudrait $n$ pour la solution complète du problème.

Pour une étude plus approfondie, nous aurons recours au changement de variables du n^o 206. Si nous adoptons les notations de ce numéro, c’est-à-dire si nous posons

${\begin{aligned}z_{1}&={\frac {1}{2}}\int {\frac {dy_{1}}{\sqrt {x_{1}'-\psi }}},&z_{i}&=y_{i}-{\frac {y_{1}}{\mathrm {A} }}{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{i}'}},&&\ldots ,\end{aligned}}$

si nous définissons comme dans le numéro cité les variables $x_{i}',$ $u_{1},$ $v_{1},$ les fonctions $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} \,;$ les dérivées de $\mathrm {V}$ par rapport à $v_{1}$ et aux $z_{i}$ seront des fonctions périodiques des $z_{i}$ (Cf. t. II, p. 361).

Examinons plus particulièrement les équations qui sont au début de la page 363 (t. II) et qui s’écrivent

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n}),\\x_{k}&=\zeta _{k}(v_{1},y_{2},y_{3},\ldots ,y_{n})\end{aligned}}$

puis, regardant $y_{2},\,y_{3},\,\ldots ,\,y_{n}$ comme des constantes, envisageons, toujours comme dans le numéro cité, les équations

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&=\zeta _{1}(v_{1}).\end{aligned}}$

Quand nous ferons varier $v_{1},$ le point $(x_{1},y_{1})$ décrira une courbe que je veux étudier. Supposons que, ne faisant pas varier les constantes $x_{2}',$ $x_{3}',\,\ldots ,$ $x_{n}',$ nous fassions au contraire varier $x_{1}',$ nous obtiendrons une infinité de courbes correspondant aux diverses valeurs de $x_{1}'.$

Nous avons supposé plus haut qu’on avait les relations invariantes

$x_{1}=x_{i}=y_{1}=0$

qui sont comme une généralisation des solutions périodiques.

À ces relations correspondra le point

$x_{1}=y_{1}=0$

c’est-à-dire l’origine des coordonnées. C’est dans le voisinage de ce point que je voudrais étudier nos courbes.

Donnons à $x_{1}'$ la valeur qui correspond à la fonction $\mathrm {S}$ particulière définie par l’équation (5), nous aurons

$x_{1}=2\Sigma _{2}y_{1}+3\Sigma _{3}y_{1}^{2}+\ldots .$

La courbe correspondante passe donc par l’origine ; on obtiendrait une seconde courbe passant par l’origine en changeant ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ en $-{\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$

Nous avons donc deux courbes se croisant à l’origine ; les centres courbes pourront passer près de l’origine, mais sans l’atteindre et sans se couper mutuellement ; de telle façon que l’ensemble de nos courbes rappellera, par sa forme générale dans le voisinage immédiat de l’origine, la figure formée par une série d’hyperboles ayant mêmes asymptotes et par leurs asymptotes.

274.Pour mieux étudier ces courbes et les fonctions $\mathrm {S}$ correspondantes restreignons-nous d’abord au cas où il n’y a que deux degrés de liberté.

Supposons qu’on ait fait le changement de variables du n^o 208 de telle façon que

$x_{1}=x_{2}=y_{1}=0$

soit une solution périodique, cela revient à dire que pour

$x_{1}=x_{2}=y_{1}=0$

on a

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0.$

Développons $\mathrm {F}$ suivant les puissances croissantes de $x_{1},$ $x_{2}$ et $y_{1}.$ Le terme de degré 0 ne dépendrait que de $y_{2}$ et comme on devrait avoir

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}=0$

il se réduirait à une constante. Comme $\mathrm {F}$ n’est définie qu’à une constante près, nous pouvons supposer que ce terme de degré zéro est nul.

Cherchons les termes du premier degré ; comme

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=0$

il n’y aura d’autres termes du premier degré qu’un terme en $x_{2}.$

Posons maintenant

${\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}$

On voit que $\mathrm {F}$ est divisible par $\varepsilon ^{2}$ et que, si l’on pose

$\mathrm {F} =\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',$

les équations conservent la forme canonique et deviennent

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$

D’ailleurs $\mathrm {F} '$ sera développable suivant les puissances de $\varepsilon$ sous la forme

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{2}'+\ldots \,;$

$\mathrm {F} '$ sera développable d’autre part suivant les puissances de $x_{1}',$ $x_{2}',$ $y_{1}'$ les coefficients étant des fonctions périodiques de $y_{2}'.$ On aura enfin

$\mathrm {F} _{0}'=\mathrm {H} x_{2}'+\mathrm {A} x_{1}'^{2}+2\mathrm {B} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {C} y_{1}'^{2}$

$\mathrm {H,\,A,\,B}$ et $\mathrm {C}$ étant des fonctions périodiques de $y_{2}'.$

Nous allons appliquer à nos équations une méthode analogue à celle de Bohlin, où le paramètre $\varepsilon$ jouera le même rôle que jouait dans le Chapitre XIX le paramètre $\mu .$

Supprimons nos accents devenus inutiles et écrivons $x_{i},$ $y_{i},$ $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F} _{i}$ au lieu de $x_{i}',$ $y_{i}',$ $\mathrm {F} ',$ $\mathrm {F} _{i}'.$

Je dis d’abord que je puis toujours supposer

$\mathrm {H} =1.$

Si en effet il n’en était pas ainsi je prendrais pour variables nouvelles

${\begin{aligned}x_{2}^{\star }&=\mathrm {H} x_{2},&y_{2}^{\star }&=\int {\frac {dy_{2}}{\mathrm {H} }}\cdot \end{aligned}}$

La forme canonique des équations n’en serait pas altérée puisque

$x_{2}^{\star }\,dy_{2}^{\star }-x_{2}\,dy_{2}=0$

est une différentielle exacte.

De plus $y_{2}^{\star }$ s’augmente d’une constante quand $y_{2}$ augmente de $2\pi \,;$ je puis toujours choisir l’unité de temps de telle façon que cette constante soit égale à $2\pi .$ Alors toute fonction périodique de période $2\pi$ de $y_{2}$ sera une fonction de période $2\pi$ de $y_{2}^{\star }.$ La forme de la fonction $\mathrm {F}$ ne sera donc pas changée ; seulement le premier terme $\mathrm {H} x_{2}$ se réduira à $x_{2}^{\star }.$

Supposons donc $\mathrm {H} =1.$

Je dis maintenant qu’on peut supposer

${\begin{aligned}\mathrm {A} =\mathrm {C} &=0,&\mathrm {B} =\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Formons en effet nos équations canoniques (1) en supposant $\varepsilon =0,$ il viendra

${\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}=-1;\qquad {\frac {dx_{1}}{dt}}&=-{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1})\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}$

et une équation en ${\frac {dx_{2}}{dt}}$ que je puis remplacer par l’équation des forces vives

$x_{2}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}=\mathrm {const.}$

Les équations

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}&=-2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}&=2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}$

sont des équations linéaires à coefficients périodiques. En vertu du n^o 29 elles auront pour solution générale

${\begin{aligned}x_{1}&=w\varphi +w_{1}\psi &y_{1}&=w\varphi _{1}+w_{1}\psi _{1}\\w&=\alpha e^{ay_{2}},&w_{1}&=\beta e^{by_{2}},\end{aligned}}$

où $\varphi ,\,\psi ,\,\varphi _{1},\,\psi _{1}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2}\,;$ $\alpha$ et $\beta$ des constantes d’intégration ; $a$ et $b$ des constantes.

Il est aisé de voir que $b=-a$ et que $\varphi \psi _{1}-\psi \varphi _{1}$ est une constante que je puis supposer égale à 1.

Cela posé, faisons un nouveau changement de variables en faisant

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi \,;&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} y_{1}'^{2}\,;&y_{2}&=y_{2}',\end{aligned}}$

$\mathrm {H,\,K,\,L}$ étant des fonctions de $y_{2}$ choisies de manière que la forme canonique des équations ne soit pas altérée. Il suffit pour cela que

$x_{1}\,dy_{1}-x_{1}'\,dy_{1}'+x_{2}\,dy_{2}-x_{2}'\,dy_{2}'$

soit une différentielle exacte.

Or on voit que $x_{1}\,dy_{1}-x_{1}'\,dy_{1}'$ est égal à une différentielle exacte augmentée de

$-{\frac {dy_{2}}{\scriptstyle 2}}\left[x_{1}'^{2}(\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}')+y_{1}'^{2}(\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}')+2x_{1}'y_{1}'(\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}')\right];$

$\varphi ',\,\varphi _{1}',\,\ldots \,$ désignent les dérivées de $\varphi ,$ $\varphi _{1},\,\ldots \,$ par rapport à $y_{2}.$

Il suffit donc, pour que la forme canonique des équations ne soit pas altérée, de prendre

${\begin{aligned}2\mathrm {H} &=\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}';&2\mathrm {K} &=\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}';&2\mathrm {L} &=\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}'.\end{aligned}}$

On voit que $\mathrm {H,\,K,\,L}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2},$ d’où il suit que la forme de la fonction $\mathrm {F}$ ne sera pas non plus altérée.

Mais, si nous supposons $\varepsilon =0,$ nos équations doivent admettre comme solution

${\begin{aligned}x_{1}'&=\alpha e^{+ay_{1}};&y_{1}'&=\beta e^{-ay_{2}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=-{\frac {a}{2}},&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0.\end{aligned}}$

Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=1,&\mathrm {A} &=\mathrm {C} =0,&\mathrm {B} &=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

d’où (puisque nous avons supprimé les accents)

$\mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}.$

C’est ce que nous ferons désormais.

Faisons encore un changement de variables en posant

${\begin{aligned}x_{1}y_{1}&=u,&\log {\frac {y_{1}}{x_{1}}}&=2v.\end{aligned}}$

Comme

$x_{1}\,dy_{1}-u\,dv={\frac {d(x_{1}y_{1})}{2}}$

est une différentielle exacte, la forme canonique ne sera pas altérée.

Il vient d’ailleurs

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{v}{\sqrt {\overset {}{u}}},&y_{1}&=e^{-v}{\sqrt {\overset {}{u}}}.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {F}$ est alors développable suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad x_{2},\quad {\sqrt {\overset {}{u}}},\quad e^{v},\quad e^{-v},\quad e^{iy_{2}},\quad e^{-iy_{2}}.$

On a d’ailleurs

$\mathrm {F} _{0}=x_{2}+2\mathrm {B} u.$

Mettons donc $\mathrm {F}$ sous la forme

$\mathrm {F} (x_{2},u;y_{2},v)$

et définissons une fonction $\mathrm {S}$ par l’équation de Jacobi

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv}};y_{2},v\right)=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante. Développons $\mathrm {S}$ et $\mathrm {C}$ suivant les puissances de $\varepsilon$

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}&{}+&{}\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {C} _{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}$

Nous aurons pour déterminer $\mathrm {S} _{0},$ $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},\,\ldots ,$ par récurrence, les équations suivantes

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}&=\mathrm {C} _{0},\\{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dv}}&=\Phi +\mathrm {C} _{1},\\{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dv}}&=\Phi +\mathrm {C} _{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}\right.$

Je désigne, comme je l’ai déjà fait bien des fois, toute fonction connue par $\Phi \,;$ dans la seconde équation (2) je regarde $\mathrm {S} _{0}$ comme connue ; dans la troisième je regarde $\mathrm {S} _{0}$ et $\mathrm {S} _{1}$ comme connues et ainsi de suite.

Nous prendrons

$\mathrm {S} _{0}=\alpha _{0}y_{2}+\beta _{0}v$

avec la condition

$\alpha _{0}+2\,\mathrm {B} \,\beta _{0}=\mathrm {C} _{0}.$

Comme $\mathrm {C} _{0}$ est arbitraire, les deux constantes $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}$ peuvent être choisies arbitrairement. Il importe toutefois de ne pas prendre $\beta _{0}=0.$ Voici pourquoi.

Supposons qu’on ait démontré que

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}$

est développable suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}$

nous pourrons (si $\beta _{0}$ n’est pas nul) en conclure qu’il en est de même de

${\sqrt {{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}}}$

puisque la quantité sous le radical se réduit à $\beta _{0}$ pour $\varepsilon =0.$ Nous ne pourrions plus tirer cette conclusion si $\beta _{0}$ était nul : or il importe de pouvoir la tirer, à cause de la présence du radical ${\sqrt {\overset {}{u}}}$ dans $\mathrm {F} .$

Considérons maintenant la seconde équation (2). La fonction $\Phi$ qui y entre dépend de $v$ et de $y_{2}$ et est de la forme suivante

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}+\mathrm {A} _{00}.$

Les coefficients $\mathrm {A}$ sont des constantes pouvant dépendre de $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}.$ Les indices $m$ et $n$ peuvent prendre toutes les valeurs entières, positives, négatives ou nulles. J’ai mis en évidence, en le faisant sortir du signe ${\textstyle \sum },$ le terme où ces deux indices sont nuls.

La seconde équation (2) nous donne alors

$\mathrm {S} _{1}=\alpha _{1}y_{2}+\beta _{1}v+\sum {\frac {\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}}{in+2\mathrm {B} m}}$

avec la condition

$\alpha _{1}+2\mathrm {B} \beta _{1}=\mathrm {A} _{00}+\mathrm {C} _{1}.$

Sauf cette condition, les constantes $\alpha _{1},$ $\beta _{1}$ et $\mathrm {C} _{1}$ sont arbitraires ; je supposerai donc

$\alpha _{1}=\beta _{1}=0.$

Je déterminerai $\mathrm {S} _{2}$ par la troisième équation (2) ; cette équation étant tout à fait de même forme que la seconde, se traitera de la même manière, et ainsi de suite.

En résumé, les dérivées ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{dv}}$ sont développables suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}.$

Si l’on compare cette analyse avec celle du n^o 125, on voit qu’il y a entre elles une analogie parfaite. Seulement, au lieu de n’avoir que des exponentielles imaginaires

$e^{\pm iy_{1}},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad \ldots ,\quad e^{\pm iy_{n}},$

nous avons ici des exponentielles réelles

$e^{\pm v}.$

275.Une fois la fonction $\mathrm {S}$ déterminée, nous pouvons, par l’application de la méthode de Jacobi, arriver à des séries analogues à celles du n^o 127.

La fonction $\mathrm {S}$ dépend de $v,$ de $y_{2}$ et des deux constantes $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}.$ La constante des forces vives

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}+\ldots$

est fonction de $\alpha _{0}$ et de $\beta _{0}.$

On a alors, comme solution de nos équations différentielles canoniques, les équations suivantes

${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}};&u&={\frac {d\mathrm {S} }{dv}};&n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}};\\&&&&n_{1}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}};&n_{2}=&-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}},\end{aligned}}$

où $\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}$ sont deux nouvelles constates d’intégration.

Je vois d’abord que $n_{1}$ et $n_{2},$ qui dépendent d’ailleurs de $\alpha _{0}$ et $\beta _{0},$ sont développables suivant les puissances de $\varepsilon .$

D’autre part, $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ et, si je fais $\varepsilon =0,$ j’ai comme première approximation

${\begin{aligned}x_{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=\alpha _{0};&u={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}&=\beta _{0};\\n_{1}t+\varpi _{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\alpha _{0}}}&=y_{2};&n_{2}t+\varpi _{2}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\beta _{0}}}&=v.\end{aligned}}$

On a quatre équations d’où l’on peut tirer $x_{2},$ $u,$ $y_{2}$ et $v$ développés suivant les puissances de $\varepsilon$ et dépendant d’ailleurs de $\alpha _{0},$ $\beta _{0},$ $n_{1}t+\varpi _{1},$ $n_{2}t+\varpi _{2}.$

Par un raisonnement tout pareil à celui du n^o 127, on verrait que

$x_{2},\quad u,\quad y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1}),\quad v-(n_{2}t+\varpi _{2})$

sont développables suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad e^{\pm i(n_{2}t+\varpi _{2})}$

Il en sera de même d’ailleurs de ${\sqrt {\overset {}{u}}},$ $x_{1}$ et $y_{1}.$

Je pourrais même ajouter que toutes ces quantités sont développables suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.$

et, en effet, $\mathrm {S} -\mathrm {S} _{0}$ est développable suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{v},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-v}.$

Si nous posons un instant

${\begin{aligned}y_{2}-(n_{1}t+\varpi _{1})&=z_{2},&v-(n_{2}t+\varpi _{2})&=z_{3},\end{aligned}}$

les deux équations

${\begin{aligned}n_{1}t+\varpi _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}t+\varpi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\beta _{0}}}\end{aligned}}$

prendront la forme

(3)

${\begin{aligned}z_{2}&=\varepsilon \psi _{2},&z_{3}&=\varepsilon \psi _{3},\end{aligned}}$

$\psi _{2}$ et $\psi _{3}$ étant développables selon les puissances de

$\varepsilon ,\quad \alpha _{0},\quad e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad z_{2},\quad z_{3}$

[et, en effet, on a par exemple

${\sqrt {\beta _{0}}}e^{v}={\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}}\left(1+{\frac {z^{3}}{1}}+{\frac {z_{3}^{2}}{1.2}}+{\frac {z_{3}^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right),$

et des formules analogues pour $e^{\pm iy_{2}},$ et ${\sqrt {\beta _{0}}}e^{-v}$].

Il suffit alors, pour démontrer la proposition énoncée, d’appliquer aux équations (3) le théorème du n^o 30.

Comparons maintenant le résultat obtenu avec celui du Chapitre VII que j’ai rappelé au début du présent Chapitre.

Nous avons vu dans ce Chapitre VII que, dans le voisinage de la solution périodique

$x_{1}=y_{1}=x_{2}=0,$

les variables $x_{1},$ $y_{1},$ $x_{2},$ $y_{2}$ sont développables suivant les puissances de

$e^{\pm n_{1}'t+\varpi _{1})},\quad \mathrm {A} e^{n_{2}'t},\quad \mathrm {A} 'e^{-n_{2}'t},$et$t\;$

$\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A} '$ sont des constantes d’intégration ; $n_{1}'$ et $n_{2}'$ sont des constantes absolues, dépendant seulement de la période de la solution périodique et de ses exposants caractéristiques.

Nous venons de voir que ces mêmes variables doivent être développables suivant les puissances de

$e^{\pm i(n_{1}t+\omega _{1})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},\quad {\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.$

Les deux résultats sont évidemment d’accord ; en effet, nous pouvons d’abord poser

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}},&\mathrm {A} '&={\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}.\end{aligned}}$

D’autre part, $n_{1}$ et $n_{2}$ sont des constantes, mais qui sont développables suivant les puissances de $\varepsilon ,$ $\alpha _{0}$ et $\beta _{0},$ et qui se réduisent à $n_{1}'$ et $n_{2}'$ pour $\varepsilon =\alpha _{0}=\beta _{0}=0.$

Nous pouvons alors écrire, par exemple,

$e^{n_{2}t}=e^{n_{2}'t}.e^{(n_{2}-n_{2}')t},$

et développer ensuite le second facteur suivant les puissances de $\varepsilon ,$ $\alpha _{0},$ $\beta _{0}\,;$ ce second facteur se trouvera alors, en outre, développé suivant les puissances de $t.$

C’est pour cela que, dans le Chapitre VII, nous avions vu le temps $t$ et ses puissances sortir des signes exponentiels et trigonométriques, ce qui pouvait, dans certains cas, produire une difficulté ; l’analyse précédente montre que cette difficulté était purement artificielle.

Si je veux maintenant comparer notre résultat avec ceux du Chapitre XIX, j’envisagerai les courbes

${\begin{aligned}y_{1}&=\theta (v_{1}),&x_{1}&=\zeta _{1}(v_{1}),\end{aligned}}$

dont j’ai rappelé la définition à la fin du n^o 273. Pour obtenir les équations de ces courbes, je n’ai qu’à prendre les expressions de $x_{1}$ et $y_{1},$ et à y donner à $\alpha _{0},$ $\beta _{0},$ $n_{1}t+\varpi _{1}$ une valeur constante. Alors $y_{1}$ et $x_{1}$ sont développables suivant les puissances de

$e^{\pm (n_{2}t+\varpi _{2})}.$

En faisant varier $n_{2}t+\varpi _{2},$ on voit bien que les courbes ont la forme que j’ai décrite à la fin du n^o 273.

Je rappellerai, en terminant, que tous ces résultats ne sont vrais qu’au point de vue formel ; les séries ne sont convergentes que dans le cas des solutions asymptotiques dont on obtient les équations en faisant

${\begin{aligned}\beta _{0}&=0,&\varpi _{2}&=+\infty ;\end{aligned}}$

je veux dire en faisant

${\begin{aligned}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}}&=\mathrm {A} ,&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}&=0,\end{aligned}}$

ou bien encore en faisant

${\begin{aligned}\beta _{0}&=0,&\varpi _{2}&=-\infty ;\end{aligned}}$

je veux dire en faisant

${\begin{aligned}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{\varpi _{2}}&=0,&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-\varpi _{2}}&=\mathrm {A'} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ désignant des constantes finies.

276.Passons au cas où il y a plus de deux degrés de liberté. Les résultats précédents peuvent se généraliser de deux manières différentes.

Il nous suffira, pour l’expliquer, de supposer trois degrés de liberté. Il peut arriver qu’on veuille étudier nos équations dans le voisinage d’un système de relations invariantes

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=0,$

jouant le rôle d’une généralisation des solutions périodiques au sens du n^o 209.

Il peut arriver aussi qu’on veuille les étudier dans le voisinage d’une véritable, solution périodique

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.$

Dans le premier cas, il y a quatre relations invariantes et une relation linéaire entre les moyens mouvements, relation que nous avons, en employant au besoin le changement de variables du n^o 202 mise sous la forme

$n_{1}=0.$

Dans le second cas, il y a cinq relations invariantes, et deux relations linéaires entre les moyens mouvements, que nous avons mises sous la forme

$n_{1}=0,\qquad n_{2}=0.$

Nous commencerons par le premier cas et nous poserons

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ';&x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}'\end{aligned}}$

les équations restent canoniques et $\mathrm {F} '$ devient développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ sous la forme

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .$

On a d’ailleurs

$\mathrm {F} _{0}'=h_{2}x_{2}'+h_{3}x_{3}'+\mathrm {A} x_{1}'^{2}+2\mathrm {B} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {C} y_{1}'^{2},$

ou, en supprimant les accents devenus inutiles,

$\mathrm {F} _{0}=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}.$

Les fonctions $h_{2},$ $h_{3},$ $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ ne dépendent que de $y_{2}$ et de $y_{3}$ et sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à ces deux variables.

Je vais recommencer les changements de variables du n^o 274 ; tout ce que j’en ai dit reste vrai, mais seulement au point de vue formel.

Pour que je puisse appliquer les principes du calcul formel, il faut qu’il y ait un paramètre par rapport aux puissances duquel s’effectuent les développements. Ici ce sera le paramètre $\mu .$

En effet, $\mathrm {F}$ et par conséquent $h_{2},$ $h_{3},$ $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ sont développables suivant les puissances entières de $\mu .$ J’ajoute que, pour $\mu =0,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ se réduisent à 0 et que $h_{2},$ $h_{3},$ $\mathrm {A}$ se réduisent à des constantes que j’appelle $h_{2}^{0},$ $h_{3}^{0}$ et $\mathrm {A} _{0}.$

Cherchons à intégrer les équations suivantes

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-h_{2},&{\frac {dy_{3}}{dt}}&=-h_{3}.\end{aligned}}$

Je cherche à faire l’intégration de telle manière que

$y_{2}-y_{2}',\quad y_{3}-y_{3}'$

soient des fonctions périodiques de période $2\pi$ de deux variables nouvelles $y_{2}'$ et $y_{3}'$ qui devront elles-mêmes être de la forme

${\begin{aligned}y_{2}'&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}'&=n_{3}t+\varpi _{3};\end{aligned}}$

$n_{2}$ et $n_{3}$ sont des constantes développables suivant les puissances de $\mu \,;$ $\varpi _{2}$ et $\varpi _{3}$ sont des constantes d’intégration.

Les équations (1) prennent alors la forme

(2)

${\begin{aligned}n_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{2}'}}+n_{3}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{3}'}}&=-h_{2}&n_{2}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{2}'}}+n_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{3}'}}&=-h_{3}.\end{aligned}}$

Nous poserons

${\begin{alignedat}{4}h_{i}&=h_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,h_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}h_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,y_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}y_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots ,\\n_{i}&=n_{i}^{0}&{}+&{}\mu \,n_{i}^{(1)}&{}+&{}\mu ^{2}n_{i}^{(2)}&{}+&{}\ldots \end{alignedat}}$

et nous supposerons que les $n_{i}^{(k)}$ sont des constantes ; que les $h_{i}^{(n)}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2}$ et de $y_{3}$ (les $h_{i}^{0}$ se réduisant à des constantes comme nous l’avons vu) et enfin que les $y_{i}^{(k)}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2}'$ et $y_{3}',$ sauf les $y_{i}^{0}$ qui se réduiront à $y_{i}'.$

Nous égalerons, dans les équations (2), les équations des puissances semblables de $\mu$ et nous aurons une suite d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence les $y_{i}^{(k)}$ et les $n_{i}^{(k)}.$

Ces équations s’écrivent

(3)

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{alignedat}{5}n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{3}'}}&=-h_{2}^{0},\\n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{3}'}}&+n_{2}^{(1)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{(1)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{3}'}}&={}\Phi ,\\n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{3}'}}&+n_{2}^{(2)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{(2)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{3}'}}&={}\Phi ,\\\end{alignedat}}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\right.$

Je désigne par $\Phi$ toute fonction connue ; dans la deuxième équation, je regarde comme connus les $y_{i}^{0}$ et les $n_{i}^{0}\,;$ dans la troisième, les $y_{i}^{0}$, les $y_{i}^{(1)},$ les $n_{i}^{0}$ et les $n_{i}^{(1)}$ et ainsi de suite.

On a d’abord

${\begin{aligned}y_{2}^{0}&=y_{2}',&y_{3}^{0}&=y_{3}';&n_{2}^{0}&=-h_{2}^{0},&n_{3}^{0}&=-h_{3}^{0},\end{aligned}}$

de sorte que les équations (3) se réduisent à

(3 bis)

$\left\{{\begin{aligned}n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{2}'}}+n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{3}'}}+n_{2}^{(1)}&=\Phi ,\\n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{2}'}}+n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{3}'}}+n_{2}^{(2)}&=\Phi ,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\end{aligned}}\right.$

auxquelles il faut adjoindre les équations

(3 ter)

$\left\{{\begin{aligned}n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{3}^{(1)}}{dy_{2}'}}+n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{3}^{(1)}}{dy_{3}'}}+n_{3}^{(1)}&=\Phi ,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\end{aligned}}\right.$

déduites de la seconde équation (2), comme les équations (3 bis) le sont de la première équation (2).

Toutes ces équations s’intégreront de la même manière ;soit par exemple la première équation (3 bis). La fonction $\Phi$ qui y entre (comme d’ailleurs toutes les autres fonctions $\Phi$) est périodique en $y_{2}'$ et $y_{3}'.$ Nous égalerons $n_{2}^{(1)}$ à la valeur moyenne de cette fonction et il nous sera facile ensuite, par le procédé que nous avons déjà appliqué tant de fois, de satisfaire à notre équation par une fonction $y_{2}^{(1)}$ périodique en $y_{2}'$ et $y_{3}'.$

Ayant ainsi déterminé $y_{2}$ et $y_{3}$ en fonctions de $y_{2}'$ et $y_{3}',$ je pose

${\begin{aligned}x_{2}'&=x_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{2}'}}+x_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{2}'}},\\x_{3}'&=x_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{3}'}}+x_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{3}'}}\cdot \end{aligned}}$

Il est clair que

$x_{2}'\,dy_{2}'+x_{3}'\,dy_{3}'-x_{2}\,dx_{2}-x_{3}\,dy_{3},$

qui est nul, est une différentielle exacte et, par conséquent, que la forme canonique des équations n’est pas altérée quand on prend pour variables nouvelles $x_{2}',$ $x_{3}',$ $y_{2}',$ $y_{3}'$ au lieu de $x_{2},$ $x_{3},$ $y_{2},\,y_{3}.$

La forme de la fonction $\mathrm {F}$ n’est pas non plus altérée, mais on voit qu’on a identiquement

$-n_{2}x_{2}'-n_{3}x_{3}'=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3},$

ce qui montre que les coefficients de $x_{2}'$ et de $x_{3}'$ se réduisent à des constantes.

Je puis donc toujours supposer que $h_{2}$ et $h_{3}$ sont des constantes.

C’est ce que je ferai désormais.

Soit maintenant à intégrer les équations

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1}),\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même,

(4)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}h_{2}\,{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}+h_{3}\,{\frac {dx_{1}}{dy_{3}}}&=-&&2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),\\h_{2}\,{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}+h_{3}\,{\frac {dy_{1}}{dy_{3}}}&=&&2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1}).\end{alignedat}}\right.$

Cherchons à satisfaire à ces équations en posant

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{\alpha t}z,&y_{1}&=e^{\alpha t}s,\end{aligned}}$

$\alpha$ étant une constante, $z$ et $s$ des fonctions périodiques de $y_{2}$ et $y_{3}.$ Les équations deviendront

(4 bis)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}h_{2}\,{\frac {dz}{dy_{2}}}&{}+{}&h_{3}\,{\frac {dz}{dy_{3}}}&{}-{}&az&=-&&2(\mathrm {B} z+\mathrm {C} s),\\h_{2}\,{\frac {ds}{dy_{2}}}&{}+{}&h_{3}\,{\frac {ds}{dy_{3}}}&{}-{}&as&=&&2(\mathrm {A} z+\mathrm {B} s).\end{alignedat}}\right.$

Développons $\mathrm {A,\,B,\,C}$ suivant les puissances de $\mu$ sous la forme

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} &=\mathrm {A} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {A} _{1}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {B} &=\mathrm {B} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {B} _{1}&{}+{}&\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+{}&\mu \,\mathrm {C} _{1}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}$

Remarquons que $\mathrm {A} _{0}$ est une constante et que $\mathrm {B} _{0}=\mathrm {C} _{0}=0.$ Développons de même $h_{2}$ et $h_{3}$

$h_{i}=h_{i}^{0}+\mu \,h_{i}^{1}+\ldots .$

Les coefficients de ces développements sont des quantités connues. Développons d’autre part les inconnues $z,$ $s$ et $a$ suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ sous la forme

${\begin{aligned}a&=a_{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+a_{2}\,\mu +a_{3}\,\mu {\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\ldots ,\\z&=z_{1}\,{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+z_{2}\,\mu +z_{3}\,\mu {\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\ldots ,\\s&=s_{0}+s_{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+s_{2}\,\mu +\ldots .\end{aligned}}$

Afin de présenter les équations sous une forme plus symétrique, j’écrirai le développement de $\mathrm {A}$ sous la forme

$\mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}+\mathrm {A} _{1}{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\mathrm {A} _{2}\,\mu +\mathrm {A} _{3}\,\mu \,{\sqrt {\overset {}{\mu }}}+\mathrm {A} _{4}\,\mu ^{2}+\ldots .$

Il faudra seulement se rappeler que $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{5},\,\ldots$ sont nuls. De même pour les développements de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C} .$

Cela posé, j’égale dans les équations (4 bis) les coefficients des puissances semblables de $\mu .$ J’appellerai (4 bis p) les deux équations obtenues en égalant d’une part les coefficients de $\mu ^{\frac {p+1}{2}}$ dans la première équation (4 bis) et, d’autre part, les coefficients de $\mu ^{\frac {p}{2}}$ dans la seconde équation (4 bis).

Les équations (4 bis 0) et (4 bis 1) détermineront $a_{1},$ $s_{0}$ et $z_{1}$ ;

Les équations (4 bis 1) et (4 bis 2) détermineront $a_{2},$ $s_{1}$ et $z_{2}$ ;

Les équations (4 bis 2) et (4 bis 3) détermineront $a_{3},$ $s_{2}$ et $z_{3},$

et ainsi de suite.

Je veux dire que les équations (4 bis p) détermineront $s_{p}$ et $z_{p+1}$ à une constante près, qu’elles détermineront $a_{p}$ et compléteront la détermination de $s_{p-1}$ et $z_{p}$ que les (4 bis p — 1) ne nous avaient fait connaître qu’à une constante près.

Si l’on se rappelle que

$\mathrm {B} _{0}=\mathrm {B} _{1}=\mathrm {C} _{0}=\mathrm {C} _{1}=0,$

on voit que les équations (4 bis 0) s’écrivent

(4 bis 0)

$\left\{{\begin{aligned}h_{2}^{0}\,{\frac {dz_{1}}{dy_{2}}}+h_{3}^{0}\,{\frac {dz_{1}}{dy_{3}}}&=0,\\h_{2}^{0}\,{\frac {ds_{0}}{dy_{2}}}+h_{3}^{0}\,{\frac {ds_{0}}{dy_{3}}}&=0\,;\end{aligned}}\right.$

les équations (4 bis 1) s’écrivent

(4 bis 1)

$\left\{{\begin{aligned}h_{2}^{0}\,{\frac {dz_{2}}{dy_{2}}}+h_{3}^{0}\,{\frac {dz_{2}}{dy_{3}}}-a_{1}z_{1}&=-2\mathrm {C} _{2}s_{0},\\h_{2}^{0}\,{\frac {ds_{1}}{dy_{2}}}+h_{3}^{0}\,{\frac {ds_{1}}{dy_{3}}}-a_{1}s_{0}&=2\mathrm {A} _{0}z_{1}\,;\end{aligned}}\right.$

les équations (4 bis 2) s’écrivent

(4 bis 2)

$\left\{{\begin{aligned}h_{2}^{0}\,{\frac {dz_{3}}{dy_{2}}}+h_{3}^{0}\,{\frac {dz_{3}}{dy_{3}}}-a_{2}z_{1}-a_{1}z_{2}&=\\[-1ex]-2\mathrm {B} _{2}z_{1}&-2\mathrm {C} _{2}s_{1}-2\mathrm {C} _{3}s_{0}+\Phi ,\\h_{2}^{0}\,{\frac {ds_{2}}{dy_{2}}}+h_{3}^{0}\,{\frac {ds_{2}}{dy_{3}}}-a_{2}s_{0}-a_{1}s_{1}&=\\[-1ex]2\mathrm {A} _{0}z_{2}&+2\mathrm {A} _{1}z_{1}-2\mathrm {B} _{2}s_{0}+\Phi \end{aligned}}\right.$

[les lettres $\Phi$ désignent des fonctions connues périodiques en $y_{2}$ et $y_{3},$ qui sont nulles dans les équations (4 bis 2), mais que j’écris néanmoins parce qu’elles apparaîtraient dans les équations suivantes].

Les équations (4 bis 0) nous apprennent que $z_{1}$ et $s_{0}$ sont des constantes. Passons ensuite aux équations (4 bis 1) et égalons les valeurs moyennes des deux membres, il vient

${\begin{aligned}-a_{1}z_{1}&=-2s_{0}\left[\mathrm {C} _{2}\right],\\-a_{1}s_{0}&=2\mathrm {A} _{0}z_{1},\end{aligned}}$

ce qui détermine $a_{1},$ $s0$ et $z_{1}\,;$ on trouve pour $a_{1}$ deux valeurs égales et de signe contraire. Les équations (4 bis 1) déterminent ensuite, à des constantes près, $z_{2}$ et $s_{1}$ qui sont des fonctions périodiques de $y_{2}$ et $y_{3}.$ On peut donc regarder comme connus

$z_{2}-[z_{2}]$et$s_{1}-[s_{1}]$.

Venons aux équations (4 bis 2) et égalons les valeurs moyennes des deux membres, on obtiendra deux équations d’où l’on pourra tirer $a_{2},$ $[z_{2}]$ et $[s_{1}].$

Les valeurs moyennes des deux membres étant égales, les équations (4 bis 2) nous donneront $z_{3}$ et $s_{2}$ à des constantes près sous la forme de fonctions périodiques de $y_{2}$ et $y_{3}.$

Et ainsi de suite.

Comme nous avons trouvé pour $a_{1}$ deux valeurs, les équations (4 bis) admettront deux solutions. Soient

${\begin{aligned}a&=a,&z&=\varphi ,&s&=\varphi _{1},\\a&=-a,&z&=\psi ,&s&=\psi _{1}\end{aligned}}$

ces deux solutions. La solution générale des équations (4) sera

${\begin{alignedat}{3}x_{1}&=\mathrm {A} e^{at}\varphi &{}+{}&\mathrm {B} e^{-at}\psi ,\\y_{1}&=\mathrm {A} e^{at}\varphi _{1}&{}+{}&\mathrm {B} e^{-at}\psi _{1}.\end{alignedat}}$

On peut toujours supposer

$\varphi \psi _{1}-\varphi _{1}\psi =1.$

On verrait alors, comme au n^o 274, que si l’on pose

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi ,&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\\x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} _{2}x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} _{2}x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} _{2}y_{1}'^{2},&y_{2}&=y_{2}',\\x_{3}&=x_{3}'+\mathrm {H} _{3}x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} _{3}x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} _{3}y_{1}'^{2},&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}$

et si $\mathrm {H} _{2},\,\mathrm {K} _{2},\,\mathrm {L} _{2},\,\mathrm {H} _{3},\,\mathrm {K} _{3},\,\mathrm {L} _{3}$ sont des fonctions périodiques convenablement choisies de $y_{2}$ et $y_{3},$ la forme canonique des équations ne sera pas altérée.

La forme de $\mathrm {F}$ ne sera pas non plus altérée ; mais $\mathrm {B}$ se réduirait à une constante, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ à 0.

On peut donc toujours supposer

$\mathrm {B} =\mathrm {const.} ,\qquad \mathrm {A} =\mathrm {C} =0.$

Le reste du calcul s’achèverait comme aux n^os 274 et 275 et l’on arriverait finalement à la conclusion suivante :

Les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances de $\varepsilon ,$ ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ de trois constantes $\alpha _{0},$ $\alpha _{0}'$ et $\beta _{0},$ de $e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},$ de $e^{\pm i(n_{1}'t+\varpi _{1}')},$ de ${\sqrt {\beta _{0}}}e^{(n_{2}t+\varpi _{2})},$ ${\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})}.$ Les constantes $n_{1},$ $n_{1}'$ et $n_{2}$ sont elles-mêmes développables suivant les puissances de $\varepsilon ,$ ${\sqrt {\overset {}{\mu }}},$ $\alpha _{0},$ $\alpha _{0}'$ et $\beta _{0}.$

277.Passons au second mode de généralisation et supposons qu’on veuille étudier les équations dans le voisinage d’une véritable solution périodique mise sous la forme

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=y_{1}=y_{2}=0.$

Nous poserons

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',&x_{1}&=\varepsilon \,x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon \,y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon \,x_{2}',&y_{2}&=\varepsilon \,y_{2}',\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{3}&=\varepsilon ^{2}x_{3}',&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}$

d’où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots .$

Les équations restent canoniques et l’on a

$\mathrm {F} _{0}'=hx_{3}'+\Phi (x_{1}',y_{1}',x_{2}',y_{2}'),$

$\Phi$ étant une forme quadratique homogène en $x_{1}',$ $y_{1}',$ $x_{2}',$ $y_{2}'\,;$ les coefficients de $\Phi$ et $h$ sont des fonctions périodiques de $y_{3}=y_{3}'.$

Nous supprimerons désormais les accents devenus inutiles et nous écrirons simplement

$\mathrm {F} _{0}=hx_{3}+\Phi (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}).$

On démontrerait comme aux n^os 274 et 276 que l’on peut toujours supposer que $h$ se réduit à une constante.

Envisageons maintenant les équations

${\begin{aligned}{\frac {dy_{3}}{dt}}&=-h,&{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{1}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{1}}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. Leur solution générale sera donc de la forme

${\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.1}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.1}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.1}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.1},\\y_{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.2}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.2}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.2}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.2},\\x_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.3}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.3}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.3}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.3},\\y_{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{at}\varphi _{1.4}+\mathrm {A} _{2}e^{-at}\varphi _{2.4}+\mathrm {A} _{3}e^{bt}\varphi _{3.4}+\mathrm {A} _{4}e^{-bt}\varphi _{4.4}.\end{aligned}}$

Les $\mathrm {A}$ sont des constantes d’intégration, les $\varphi$ sont des fonctions périodiques de $y_{3}.$

Il est aisé de vérifier que l’expression

$\varphi _{i.1}\varphi _{k.2}-\varphi _{i.2}\varphi _{k.1}+\varphi _{i.3}\varphi _{k.4}-\varphi _{i.4}\varphi _{k.3}$

est nulle, sauf dans les deux cas suivants

$i=1,\quad k=2\,;\qquad i=3,\quad k=4.$

Dans ces deux cas, cette expression se réduit à une constante que je puis supposer égale à 1.

Posons maintenant

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi _{1.1}+y_{1}'\varphi _{2.1}+x_{2}'\varphi _{3.1}+y_{2}'\varphi _{4.1},\\y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1.2}+y_{1}'\varphi _{2.2}+x_{2}'\varphi _{3.2}+y_{2}'\varphi _{4.2},\\x_{2}&=x_{1}'\varphi _{1.3}+y_{1}'\varphi _{2.3}+x_{2}'\varphi _{3.3}+y_{2}'\varphi _{4.3},\\y_{2}&=x_{1}'\varphi _{1.4}+y_{1}'\varphi _{2.4}+x_{2}'\varphi _{3.4}+y_{2}'\varphi _{4.4}.\end{aligned}}$

On voit alors que

${\begin{aligned}x_{1}\,&dy_{1}-y_{1}\,dx_{1}+x_{2}\,dy_{2}-y_{2}\,dx_{2}\\&=x_{1}'\,dy_{1}'-y_{1}'\,dx_{1}'+x_{2}'\,dy_{2}'-y_{2}'\,dx_{2}'+\psi \,dy_{3},\end{aligned}}$

où $\psi$ est une forme quadratique homogène par rapport à $x_{1}',$ $y_{1}',$ $x_{2}',$ $y_{2}'$ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $y_{3}.$

Si alors nous posons

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{3}'-{\frac {\psi }{2}},&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}$

l’expression

$x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+x_{3}\,dy_{3}-x_{1}'\,dy_{1}'-x_{2}'\,dy_{2}'-x_{3}'\,dy_{3}'$

sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations n’est pas altérée.

La forme de la fonction $\mathrm {F}$ n’est pas altérée, seulement $\mathrm {F} _{0}$ se réduit à

$h\,x_{3}'+\mathrm {A} \,x_{1}'y_{1}'+\mathrm {B} \,x_{2}'y_{2}',$

où $h,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes.

On poserait ensuite

${\begin{aligned}x_{1}'\,dy_{1}'&=u_{1},&\log {\frac {y_{1}'}{x_{1}'}}&=2v_{1},\\x_{2}'\,dy_{2}'&=u_{2},&\log {\frac {y_{2}'}{x_{2}'}}&=2v_{2},\end{aligned}}$

et le calcul s’achèverait comme aux n^os 275 et 276 ; on arriverait à la conclusion suivante :

Les $x_{i}$ et les $y_{i}$ sont développables suivant les puissances de $\varepsilon$ de trois constantes $\alpha _{0},$ $\beta _{0}$ et $\beta _{0}',$ de $e^{\pm i(n_{1}t+\varpi _{1})},$ de

${\begin{array}{rr}{\sqrt {\beta _{0}}}e^{n_{2}t+\varpi _{2}},&{\sqrt {\beta _{0}}}e^{-(n_{2}t+\varpi _{2})},\\{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{n_{2}'t+\varpi _{2}'},&{\sqrt {\beta _{0}'}}e^{-(n_{2}'t+\varpi _{2}')}.\end{array}}$

Les exposants $n_{1},\,n_{2}$ et $n_{2}'$ sont eux-mêmes développables suivant les puissances de $\varepsilon ,$ $\alpha _{0},$ $\beta _{0}$ et $\beta _{0}'.$

Cette généralisation s’applique immédiatement quand il y a $n$ degrés de liberté ; le premier cas, celui du numéro précédent, correspond à celui où il y a $n+1$ relations invariantes et une seule relation linéaire entre les moyens mouvements. C’est celui qui nous a occupés au Chapitre XIX.

Le second cas, celui du présent numéro, correspond à celui où il y a $2n-1$ relations invariantes définissant une véritable solution périodique et où il y a $n-1$ relations linéaires entre les moyens mouvements. C’est celui des solutions asymptotiques qui nous a occupés au Chapitre VII.

Mais il y a des cas intermédiaires où l’on a $n-q$ relations invariantes, et $q$ relations linéaires entre les moyens mouvements. Alors les $x_{i}$ et les $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances positives ou négatives de $q$ exponentielles réelles et de $n-q$ exponentielles imaginaires.

Relation avec les invariants intégraux.

278.Supposons donc que les équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)\end{aligned}}$

admettent une solution périodique de la forme suivante

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t+h),&y_{i}&=\psi _{i}(t+h),\end{aligned}}$

où $h$ est une constante d’intégration ; et soit $\mathrm {T}$ la période, de telle façon que $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ soient développables en séries procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h).$

Considérons les solutions voisines de cette solution périodique ; elles pourront, d’après ce qui précède, être mises sous la forme suivante : $x_{i}$ et $y_{i}$ seront développés suivant les puissances de $2n-2$ quantités conjuguées deux à deux et que j’appelle

${\begin{array}{rl}\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},&\quad \mathrm {A} _{1}'e^{-\alpha _{1}t}\\\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},&\quad \mathrm {A} _{2}'e^{-\alpha _{2}t}\\\ldots \ldots ,&\quad \ldots \ldots ..\\\mathrm {A} _{n-1}e^{\alpha _{n-1}t},&\quad \mathrm {A} _{n-1}'e^{-\alpha _{n-1}t}.\end{array}}$

Les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {A} '$ sont des constantes arbitraires d’intégration ; les exposants $\alpha$ peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances de $\mathrm {A} _{1}\,\mathrm {A} _{1}',$ $\mathrm {A} _{2}\,\mathrm {A} _{2}',\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n-1}\,\mathrm {A} _{n-1}'.$

De plus les coefficients du développement de $x_{i}$ et de $y_{i}$ sont des fonctions périodiques de $t+h,$ de période $\mathrm {T} .$ Ces coefficients (de même que les exposants $\alpha$) dépendent en outre de la constante des forces vives $\mathrm {C} .$

Nous savons qu’il existe un invariant intégral

(2)

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i},$

d’où il résulte que, si $\beta$ et $\gamma$ sont deux constantes d’intégration, on devra avoir

$\sum \left({\frac {dx_{i}}{d\beta }}\,{\frac {dy_{i}}{d\gamma }}-{\frac {dx_{i}}{d\gamma }}\,{\frac {dy_{i}}{d\beta }}\right)=\mathrm {const.}$

On pourra écrire cette équation sous une autre forme ; supposons qu’on donne à $\beta$ un accroissement $\delta \beta$ et qu’il en résulte pour $x_{i},$ $y_{i},$ $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},\,\ldots$ des accroissements

$\delta x_{i},\quad \delta y_{i},\quad \delta \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},\quad \ldots .$

Supposons d’autre part que l’on donne à $\gamma$ un accroissement $\delta '\!\gamma$ et qu’il en résulte pour $x_{i},$ $y_{i},\,\ldots$ des accroissements

$\delta '\!x_{i},\quad \delta '\!y_{i},\quad \ldots .$

Notre équation s’écrira

(3)

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)=\mathrm {const.}$

Le second nombre est une constante ; je veux dire que c’est une fonction des constantes d’intégration multipliée par $\delta \beta \,\delta '\!\gamma .$

Or on a évidemment

$\delta \mathrm {A} e^{\alpha t}=e^{\alpha t}\left(\delta \mathrm {A} +t\;\delta \alpha \right).$

D’autre part

${\begin{alignedat}{5}\delta x_{i}&={\frac {dx_{i}}{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&{\frac {dx_{i}}{dh}}\,\delta h+\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{i}t}\\[0ex]&&&\qquad \quad +\sum {\frac {dx_{i}}{d(\mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{i}t})}}\,\delta \mathrm {A} _{k}e^{-\alpha _{i}t},\\\delta \alpha &={\frac {d\alpha }{d\mathrm {C} }}\,\delta \mathrm {C} &{}+{}&\sum {\frac {d\alpha }{d(\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}')}}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}').\end{alignedat}}$

On voit ainsi que $\delta x_{i}$ et $\delta y_{i}$ sont de la forme suivante

${\begin{aligned}\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\,\eta _{1.i}\,;&\delta '\!y_{i}&=\eta _{i}'+t\,\eta _{1.i}'\\\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\,\xi _{1.i}\,;&\delta '\!x_{i}&=\xi _{i}'+t\,\xi _{1.i}',\end{aligned}}$

où $\xi _{i},\,\xi _{1.i},$ $\eta _{i},\,\eta _{1.i}$ sont linéaires par rapport à $\delta \mathrm {C} ,$ $\delta h,$ et aux $\delta \mathrm {A} e^{\alpha t},$ $\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t}\,;$ et d’autre part développables suivant les puissances des $\textstyle \mathrm {A} e^{\alpha t},$ et des $\textstyle \mathrm {A} 'e^{-\alpha t}$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h).$ On trouverait aisément les expressions de $\delta '\!x_{i},$ $\delta '\!y_{i}\,;$ il suffit de changer $\delta$ en $\delta '$ dans celles de $\delta x_{i}$ et $\delta y_{i}.$ On voit alors que l’on pourra écrire l’équation (3) sous la forme

$\mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {D} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{i}'-\xi _{i}'\eta _{i}),\\\mathrm {E} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{i}\eta _{1.i}'-\xi _{i}'\eta _{1.i}+\xi _{1.i}\eta _{i}'-\xi _{1.i}'\eta _{i}),\\\mathrm {F} &={\textstyle \sum }\,(\xi _{1.i}\eta _{1.i}'-\xi _{1.i}'\eta _{1.i})\end{aligned}}$

sont développés suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ $\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},$ et les sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h)$ et sont d’autre part bilinéaires par rapport aux

${\begin{array}{cccc}\delta \mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta \mathrm {C} ,&\delta h,\\\delta '\!\mathrm {A} e^{\alpha t},&\delta '\!\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},&\delta '\!\mathrm {C} ,&\delta '\!h.\end{array}}$

Le premier membre devant être indépendant de $t,$ nous aurons d’abord

$\mathrm {E} =\mathrm {F} =0,$

ce qui nous fournit déjà certaines relations de vérification auxquelles doivent satisfaire les développements des $x_{i}$ et des $y_{i}.$

Ensuite $\mathrm {D}$ doit être indépendant de $t\,;$ il sera donc linéaire par rapport aux déterminants suivants

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}'&-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{j}&-\delta \mathrm {A} _{j}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}),\\\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {C} &-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} ),\\\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!h&-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta h)\\(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!h&-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta h)\end{aligned}}\right.$

(ou par rapport aux déterminants analogues déduits des premiers en permutant $\mathrm {A} _{k}$ avec $\mathrm {A} _{k}',$ ou $\mathrm {A} _{j}$ avec $\mathrm {A} _{j}'$).

Les coefficients seront développés suivant les puissances des $\mathrm {A} _{k}\,\mathrm {A} _{k}'$ et dépendront en outre de $\mathrm {C} .$

Le temps en effet doit disparaître. Les exponentielles doivent donc disparaître ; ce qui ne peut arriver que si chaque facteur $\mathrm {A} e^{\alpha t}$ est multiplié par un facteur $\mathrm {A} 'e^{-\alpha t},$ ou $\delta \mathrm {A} 'e^{-\alpha t},$ ou $\delta '\!\mathrm {A} 'e^{-\alpha t}.$

On peut déduire de là une nouvelle série de relations de vérification.

279.Parmi les exposants $\alpha _{k}$ les uns sont imaginaires, les autres réels ; parmi ces derniers les uns sont positifs, les autres négatifs. Mais comme entre deux exposants égaux et de signe contraire je puis arbitrairement choisir celui que j’appelle $\alpha _{k},$ je ne restreindrai pas la généralité en supposant que $\alpha _{k}$ est positif s’il est réel.

Annulons maintenant les coefficients $\mathrm {A} _{k}$ qui correspondent à un exposant imaginaire, ou à un exposant positif.

Alors on aura, si $\alpha _{k}$ est réel,

$\mathrm {A} _{k}=0,\qquad \mathrm {A} _{k}'\gtrless 0$

et si $\alpha _{k}$ est imaginaire

$\mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'=0.$

Je ferai en outre

$\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},$

$\mathrm {C} _{0}$ étant la valeur de la constante des forces vives qui correspond à la solution périodique envisagée.

Nos séries deviennent alors convergentes et représentent les solutions asymptotiques que nous avons étudiées au Chapitre VII. Elles contiennent comme constantes arbitraires $h$ et les $\mathrm {A} _{k}'$ qui correspondent aux exposants négatifs.

Nous aurons donc $2n$ égalités qui exprimeront les $x_{i}$ et les $y_{i}$ en fonctions de $t$ et de ces constantes $h$ et $\mathrm {A} _{k}'.$ Si entre ces $2n$ égalités nous éliminons $t,$ $h$ et les $\mathrm {A} _{k}',$ nous aurons entre les $x_{i}$ et les $y_{i}$ un certain nombre de relations invariantes.

Si un ensemble de valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i}$ est regardé comme représentant un point dans l’espace à $2n$ dimensions, ces relations invariantes représentent une certaine variété $\mathrm {V}$ de cet espace ; c’est ce que j’appellerai la variété asymptotique.

Reprenons l’invariant intégral

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}$

et étendons l’intégration à une portion de cette variété asymptotique $\mathrm {V} .$ En d’autres termes, supposons que tous les systèmes de valeurs des $x_{i}$ et des $y_{i},$ qui font partie du domaine d’intégration, satisfassent à nos relations invariantes.

Je dis que l’invariant intégral sera nul.

Il me suffit de démontrer que

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)=0,$

et cela est évident, car on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}&=0,&\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\delta \mathrm {A} _{k}&=0,&\delta \mathrm {C} &=0,\\\delta '\!\mathrm {A} _{k}&=0,&\delta '\!\mathrm {C} &=0,\end{aligned}}$

ce qui montre que toutes les expressions (4) s’annulent. Nous aurions pu également faire

$\mathrm {C} ={}$	$\mathrm {C} _{0},$
$\mathrm {A} _{k}\gtrless 0,\qquad \mathrm {A} _{k}'={}$	0 (pour $\alpha _{k}$ réel),
$\mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'={}$	0 (pour $\alpha _{k}$ imaginaire).

Nous aurions obtenu une nouvelle série de solutions asymptotiques et, par conséquent, une nouvelle variété asymptotique à laquelle les mêmes conclusions s’appliqueraient.

Ce que nous avons fait pour l’invariant (2), on pourrait le faire pour un invariant bilinéaire quelconque (invariant de la troisième sorte, n^o 260), c’est-à-dire de la forme

(5)

$\iint {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,dx_{i}\;dx_{k},$

où $\mathrm {B}$ est une fonction des $x_{i}$ et des $y_{i}$ et où, sous le signe ${\textstyle \sum },$ une ou deux des différentielles $dx_{i},\,dx_{k}$ peut être remplacée par $dy_{i}$ ou $dy_{k}.$

L’expression

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \left(\delta x_{i}\,\delta '\!x_{k}-\delta x_{k}\,\delta '\!x_{i}\right)$

serait encore linéaire par rapport aux quantités (4). Cela s’appliquerait encore à un invariant quadratique (invariant de la deuxième sorte, n^o 260) de la forme

(6)

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,dx_{i}\,dx_{k}}},$

où $\mathrm {B}$ est fonction des $x_{i}$ et des $y_{i}$ et où, sous le signe ${\textstyle \sum },$ une ou deux des différentielles $dx_{i},\,dx_{k}$ peut être remplacée par $dy_{i},\,dy_{k}.$

On verrait que l’expression

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \delta x_{i}\,\delta x_{k}$

doit être linéaire par rapport aux expressions

(4 bis)

$\left\{{\begin{array}{c}\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\,\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j},\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} ,\\\delta \mathrm {C} \,\delta h\end{array}}\right.$

et de celles qu’on en peut déduire en permutant $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {A} _{k}',$ $\mathrm {A} _{j}$ et $\mathrm {A} _{j}'.$

Pour toute variété asymptotique, l’invariant (5) comme l’invariant (6) doivent s’annuler.

Autre mode de discussion.

280.La même étude peut être poussée plus loin, en la présentant sous une autre forme.

Nous supposerons, par exemple, que nous avons affaire à un problème de Dynamique, que les $x_{i}$ sont les coordonnées des divers points matériels du système et que les variables conjuguées $y_{i}$ sont les composantes de leurs quantités de mouvement. Nous nous proposerons d’étudier les invariants intégraux algébriques par rapport aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ et de voir, s’il peut en exister d’autre que celui qui est connu et qui s’écrit

$\iint {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.$

Nous avons vu que, dans le voisinage d’une solution périodique, les $x_{i}$ et les $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},\ldots .$ Nous allons de nouveau envisager ces développements ; mais nous pourrons supposer que la valeur de la constante des forces vives qui correspond à la solution périodique est nulle, de sorte que les développements procéderont non seulement suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ mais encore suivant celles de $\mathrm {C} .$ Ils dépendront en outre de $t+h.$

En égalant les $x_{i}$ et les $y_{i}$ à ces développements, on obtient $2n$ équations, que nous allons résoudre par rapport aux $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ à $\mathrm {C}$ et à $t+h.$

Il vient

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}r}&=f_{k},\\\mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{k}r}&=f_{k}',\\\mathrm {C} &=\Phi ,\\\alpha _{0}t+\beta _{0}={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h)&=\Theta .\end{aligned}}\right.$

Nous remarquerons que $\alpha _{0}$ comme $\alpha _{k}$ est développable suivant les puissances de $\mathrm {C}$ et des $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}',$ et l’on voit que $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi ,$ $\cos \Theta ,$ $\sin \Theta$ sont des fonctions uniformes des $x_{i}$ et des $y_{i}$ dans le voisinage de la solution périodique. De plus, les $x_{i}$ et les $y_{i}$ peuvent se développer suivant les puissances des $f_{k},$ des $f_{k}'$ et de $\Phi$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $\Theta .$

D’autre part l’expression

(3)

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)$

qui correspond à l’invariant (2) ou les expressions analogues qui correspondraient à un autre invariant bilinéaire de la forme (5) devra être développable suivant les puissances des $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi$ et bilinéaire par rapport à

${\begin{array}{cccc}\delta f_{k},&\delta f_{k}',&\delta \Phi ,&\delta \Theta ,\\\delta '\!f_{k},&\delta '\!f_{k}',&\delta '\!\Phi ,&\delta '\!\Theta .\end{array}}$

De plus, quand on y remplace $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi ,$ $\Theta$ par leurs valeurs (7), cette expression doit devenir indépendante de $t.$ Or le temps $t$ pourrait s’y introduire de trois manières :

1^o Sous la forme exponentielle ;

2^o Sous la forme de cosinus ou sinus des multiples de $(t+h)\,;$

3^o En dehors des signes exponentiels et trigonométriques (et, comme nous allons le voir, au second degré au plus).

Il ne doit y entrer d’aucune de ces trois manières.

1^o Pour qu’il n’y entre pas sous la forme exponentielle, il faut et il suffit que l’expression soit linéaire par rapport aux quantités suivantes analogues à (4)

(8)

$\left\{{\begin{aligned}\delta f_{k}\,\delta '\!f_{k}'&-\delta '\!f_{k}\,\delta f_{k}',\\f_{k}'f_{j}'(\delta f_{k}\,\delta '\!f_{j}&-\delta f_{j}\,\delta '\!f_{k}),\\f_{k}'(\delta f_{k}\,\delta '\!\Phi &-\delta '\!f_{k}\,\delta \Phi ),\\(\delta \Phi \,\delta '\!\Theta &-\delta '\!\Phi \,\delta \Theta ),\end{aligned}}\right.$

les coefficients étant développables suivant les puissances des $f_{k},$ $f_{k}'$ et de $\Phi .$

2^o Pour que $t$ n’y entre pas sous la forme trigonométrique, il faut et il suffit que notre expression ne dépende pas de $\Theta ,$ mais seulement de ses variations $\delta \Theta ,\,\delta '\!\Theta .$

3^o Il nous reste à déterminer la condition pour que $t$ n’y entre pas en dehors des signes exponentiels et trigonométriques. Remarquons que l’on a

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\delta f_{k}&=e^{\alpha _{k}t}\left(\delta \mathrm {A} _{k}+\mathrm {A} _{k}\,t\,\delta \alpha _{k}\right),\\\delta f_{k}'&=e^{-\alpha _{k}t}\left(\delta \mathrm {A} _{k}'-\mathrm {A} _{k}'\,t\,\delta \alpha _{k}\right),\\\delta \Phi &=\delta \mathrm {C} ,\qquad \delta \Theta =\delta \beta _{0}+t\,\delta \alpha _{0}.\end{aligned}}\right.$

Nous distinguerons dans notre expression des termes de cinq sortes, selon qu’ils contiendront en facteur une quantité (8) figurant dans la première, deuxième, troisième, quatrième ou cinquième ligne du Tableau (8).

Cela posé, si nous remplaçons $\delta f_{k},\,\ldots$ par leurs valeurs (9), nous verrons que les termes des cinq sortes contiendront respectivement en facteur

(10)

$\left\{{\begin{aligned}&(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}'-\delta \mathrm {A} _{k}'\,\delta '\!\mathrm {A} _{k})+t\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right],\\&\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{j}-\delta \mathrm {A} _{j}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k})\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,t\left[\mathrm {A} _{k}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{j}-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j})-\mathrm {A} _{j}(\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}-\delta '\!\alpha _{j}\,\delta \mathrm {A} _{k})\right]\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'\,t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}),\\&\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {C} -\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} )+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,t(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\mathrm {C} -\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \mathrm {C} ),\\&\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\beta _{0}-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \beta _{0})+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,t(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\beta _{0}-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \beta _{0})\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}'\,t(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{0})+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \alpha _{0}),\\&(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\beta _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \beta _{0})+t(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \alpha _{0}).\end{aligned}}\right.$

On voit que le temps pourrait entrer au second degré.

Faisons d’abord disparaître les termes en $t^{2}\,;$ ils ne peuvent provenir que des termes de la deuxième sorte et de la quatrième sorte.

Je dis que le coefficient de

$t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k})$

doit s’annuler.

En effet, les accroissements virtuels des constantes étant arbitraires, nous pourrons supposer que tous les $\delta \alpha _{i}$ s’annulent à l’exception de $\delta \alpha _{k},$ et de même que tous les $\delta '\!\alpha _{i}$ s’annulent à l’exception de $\delta '\!\alpha _{j}.$

Tous les termes en $t^{2}$ s’annulent alors, à l’exception du terme en

$t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}).$

Il y aurait exception s’il existait une relation entre les $n-1$ exposants $\alpha _{i}\,;$ on ne pourrait plus en effet supposer que tous les $\delta \alpha _{i}$ s’annulent sauf un, sans que ce dernier s’annule lui-même.

Maintenant il y a quatre termes de la seconde sorte qui donnent des termes en

$t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}).$

Je les écrirai pour abréger sous la forme

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{3}\,;$

les $\psi$ sont développés suivant les puissances des $f_{i},$ $f_{i}'$ et de $\Phi .$ Je désigne par $\omega _{1}$ l’expression qui figure à la seconde ligne du Tableau (8) :

$\omega _{2}$ se déduit de $\omega _{1}$ en permutant $f_{k}$ et $f_{k}'$,

$\omega _{3}$ se déduit de $\omega _{2}$ en permutant $f_{j}$ et $f_{j}'$,

$\omega _{4}$ se déduit de $\omega _{3}$ en faisant à la fois ces deux permutations.

Pour que les termes en $t^{2}$ disparaissent, il faut et il suffit que

(11)

$\psi _{1}-\psi _{2}-\psi _{3}+\psi _{4}=0.$

Si cette condition est remplie, nos quatre termes

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{3}\,;$

nous donneront comme termes en $t$

${\begin{aligned}&(\psi _{1}-\psi _{2})\,t\,\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}')\right]\\[0ex]&\quad +(\psi _{3}-\psi _{1})\,t\,\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'\left[\delta \alpha _{j}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{j}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right].\end{aligned}}$

Considérons maintenant les termes de la quatrième sorte que nous associerons deux par deux ; soit un groupe de deux termes

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2},$

où $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ sont développables suivant les puissances de $\mathrm {C}$ et des $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,;$ où $\omega _{1}$ est l’expression qui figure à la quatrième ligne du Tableau (10) et où $\omega _{2}$ est celle qu’on en déduit en permutant $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {A} _{k}'$ et changeant $\alpha _{k}$ en $-\alpha _{k}.$

Pour que les termes en $t^{2}$ disparaissent, il faut que

$\psi _{1}=\psi _{2}$

et alors les termes en $t$ se réduisent à

$\psi _{1}\,t\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right].$

281.Maintenant nos termes en $t$ procèdent suivant les puissances de $\mathrm {C} ,$ des $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,;$ et suivant les $\delta$ et les $\delta '\!,$ de $\alpha _{0},$ $\alpha _{k},$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'.$ Il nous reste à faire disparaître ces termes ; je vais écrire qu’ils sont nuls quand on y fait

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=0,&\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0.\end{aligned}}$

sans supposer bien entendu que $\delta \mathrm {C} ,$ $\delta '\!\mathrm {C} ,$ $\delta \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}',$ $\delta '\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'$ soient nuls.

Soit dans notre invariant $\mathrm {B} _{k}$ ce que devient le coefficient du terme en $\left(\delta f_{k}\,\delta '\!f_{k}'-\delta f_{k}'\,\delta '\!f_{k}\right)$ quand on y fait $\mathrm {C} =\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0.$

Soit $\mathrm {D} _{k}$ ce que devient le coefficient du terme en

$f_{k}'\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)$

et $\mathrm {D} _{0}$ ce que devient celui du terme en

$\left(\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \right).$

Nous devrons avoir identiquement

${\begin{aligned}&{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right]\\[-0.5ex]&\;\;+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\left[\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\,\delta \alpha _{0}\right]+\mathrm {D} _{0}(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \alpha _{0})=0.\end{aligned}}$

Écrivons, pour abréger, $\gamma _{k}$ au lieu de $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}',$ $\gamma _{0}$ au lieu de $\mathrm {C}$ et

$\partial (u,v)$

au lieu de

$\delta u\,\delta '\!v-\delta v\,\delta '\!u\,;$

il viendra

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\partial (\alpha _{k},\gamma _{k})+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,\partial (\gamma _{k},\alpha _{0})+\mathrm {D} _{0}\,\partial (\gamma _{0},\alpha _{0})=0$

ou bien

${\begin{aligned}{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,{\frac {d\alpha _{k}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{j},\gamma _{k})&+{\textstyle \sum \sum }\,\mathrm {D} _{k}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{k},\gamma _{j})\\[-0.25ex]&+{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{0}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}\,\partial (\gamma _{0},\gamma _{j})=0.\end{aligned}}$

Sous le signe $\textstyle \sum \,$ ou $\textstyle \sum \sum ,$ $k$ peut prendre les valeurs $1,$ $2,\,\ldots ,$ $n-1$ et $j$ les valeurs $0,$ $1,$ $2,\,\ldots ,$ $n-1.$

En égalant à zéro le coefficient de $\partial (\gamma _{j},\gamma _{k}),$ on trouve

(12)

$\mathrm {B} _{k}\,{\frac {d\alpha _{k}}{d\gamma _{j}}}-\mathrm {B} _{j}\,{\frac {d\alpha _{j}}{d\gamma _{k}}}-\mathrm {D} _{k}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}+\mathrm {D} _{j}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{k}}}=0.$

En égalant à zéro le coefficient de $\partial (\gamma _{0},\gamma _{j}),$ on trouve

(12 bis)

$\mathrm {B} _{j}\,{\frac {d\alpha _{j}}{d\gamma _{0}}}-\mathrm {D} _{j}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{0}}}+\mathrm {D} _{0}\,{\frac {d\alpha _{0}}{d\gamma _{j}}}=0.$

Ces équations expriment que

(13)

$-\mathrm {D} _{0}\,\alpha _{0}\,d\gamma _{0}+{\textstyle \sum }\,(\mathrm {B} _{k}\alpha _{k}-\mathrm {D} _{k}\alpha _{0})d\gamma _{k}$

est une différentielle exacte.

Dans les équations (12) et (12 bis) il faut faire $\gamma _{j}=0\,;$ les ${\frac {d\alpha }{d\gamma }}$ sont donc des constantes ; les $\alpha _{j}$ sont donc des fonctions linéaires des $\gamma \,;$ en réalité, comme nous l’avons vu, les $\alpha$ peuvent être développés suivant les puissances des $\gamma \,;$ mais le résultat que nous venons d’obtenir n’est vrai que si l’on néglige les carrés des $\gamma$ et si l’on arrête les développements des $\alpha$ aux termes du premier degré. De plus, les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {D}$ sont des constantes. L’expression (13) est donc la différentielle exacte d’un polynôme du deuxième degré.

Pour pousser plus loin cette étude, exprimons les $\alpha _{k}$ non plus en fonctions de

$\gamma _{0},\quad \gamma _{1},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1},$

mais de

$\alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1},$

et, pour éviter toute confusion, représentons par des $\partial {}$ les dérivées prises par rapport aux nouvelles variables et par des $d$ les dérivées prises par rapport aux anciennes.

On voit alors que

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\alpha _{k}\,d\gamma _{k}+d\alpha _{0}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{j}\gamma _{j}$

est une différentielle exacte, ce qui entraîne les conditions

(14)

$\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}=\mathrm {B} _{i}\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}\cdot$

Si l’on connaît les relations entre les $\alpha$ et les $\gamma ,$ ces équations nous permettront de déterminer les coefficients $\mathrm {B} _{i}.$

Nous pouvons exprimer $\textstyle \sum \mathrm {D} _{j}\gamma _{j}$ en fonction des variables

$\alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \gamma _{2},\,\ldots ,\quad \gamma _{n-1}$

en écrivant

${\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{j}\gamma _{j}=\mathrm {E} _{0}\alpha _{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {E} _{k}\gamma _{k}.$

Les $\mathrm {E} _{k}$ nous seront donnés par les équations

(14 bis)

$\mathrm {E} _{k}=\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \alpha _{0}}},$

et $\mathrm {E} _{0}$ pourra être choisi arbitrairement.

Il faut d’abord que les équations (14) soient compatibles, ce qui pour $n>3$ exige certaines conditions

(15)

${\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{j}}}{\frac {\partial \alpha _{j}}{\partial \gamma _{k}}}={\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}{\frac {\partial \alpha _{j}}{\partial \gamma _{i}}}{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{j}}}\cdot$

Ces conditions (15) seront toujours remplies puisqu’il y a toujours un invariant intégral

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}.$

S’il y a plusieurs invariants intégraux qui ne s’annulent pas identiquement pour la solution périodique envisagée, à chacun de ces invariants devra correspondre un système de valeurs des coefficients $\mathrm {B} _{i}$ et $\mathrm {E} _{i}.$

Si les équations (14) admettent $q$ solutions linéairement indépendantes, on pourra calculer les valeurs correspondantes des $\mathrm {E} _{k}$ à l’aide des équations (14 bis), et comme $\mathrm {E} _{0}$ reste arbitraire, nous aurons $q+1$ systèmes de valeurs, linéairement indépendants, des coefficients $\mathrm {B} _{i}$ et $\mathrm {E} _{i}.$

Nous pourrons donc avoir $q+1$ invariants intégraux distincts (si la solution périodique considérée n’est pas singulière au sens donné à ce mot au n^o 257), mais nous ne pourrons pas en avoir davantage.

282.J’ai dit plus haut que les conditions (15) étaient certainement remplies ; il pourrait rester un doute sur ce point ; et en effet si les équations (14) comportent $q$ solutions distinctes, il peut y avoir $q+1$ invariants ; si donc il n’y a qu’un invariant, on pourrait supposer $q=0\,;$ la présence d’un seul invariant

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}$

ne suffirait donc pas pour permettre d’affirmer que les équations (14) comportent certainement une solution.

C’est ce doute qu’il me reste à dissiper.

J’observe d’abord que dans le cas du problème des trois corps, il y a non pas un, mais deux invariants intégraux.

Nous avons, en effet, dans le Tome 1, Chapitre IV, étudié les équations aux variations de ce problème.

Nous avons obtenu pages 170 et 172 les intégrales suivantes

(1)

$\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi =\mathrm {const.}$

(2)

${\textstyle \sum }\,(2x\eta +y\xi )-3t\left(\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi \right)=\mathrm {const.}$

On trouverait de même

(1 bis)

$\sum {\frac {y\eta '}{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi '=\mathrm {const.}$

(2 bis)

${\textstyle \sum }\,(2x\eta '+y\xi ')-3t\left(\sum {\frac {y\eta '}{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi '\right)=\mathrm {const.}$

Multiplions (2 bis) par (1), (1 bis) par (2) et retranchons, il viendra

(16)

$\left\{{\begin{aligned}\sum &\left({\frac {y\eta }{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi \right){\textstyle \sum }\,(2x\eta '+y\xi ')\\&-\sum \left({\frac {y\eta '}{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi '\right){\textstyle \sum }\,(2x\eta +y\xi )=\mathrm {const.} \end{aligned}}\right.$

Le premier membre est linéaire par rapport aux déterminants de la forme

$\eta _{i}\eta _{k}'-\eta _{k}\eta _{i}',\quad \eta _{i}\xi _{k}'-\eta _{k}'\xi _{i},\quad \xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'.$

Nous avons donc une intégrale des équations aux variations et nous pourrons en déduire un nouvel invariant intégral bilinéaire.

Dans le cas du problème des trois corps, on a donc au moins $q=1,$ et l’on peut être assuré que les conditions (15) sont remplies.

283.En est-il encore de même dans le cas général ? Supposons qu’elles ne le soient pas. Alors tous les coefficients que nous avons appelés $\mathrm {B} _{i}$ doivent être nuls ainsi que tous les $\mathrm {E} _{k},$ à l’exception de $\mathrm {E} _{0}.$

Donc quand on donne aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ les valeurs qui correspondent à la solution périodique envisagée, c’est-à-dire quand on fait

$\mathrm {C} =\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,$

les coefficients des termes en $\delta f_{k}\,\delta '\!f_{k}'-\delta f'_{k}\,\delta '\!f_{k}$ doivent s’annuler, et il ne reste que les termes en

${\begin{aligned}f_{k}'&\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)\\&\left(\,\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \,\right).\end{aligned}}$

Notre invariant devrait donc s’annuler quand on aurait

$\delta \Theta =\delta '\!\Theta =0.$

Or ce n’est pas le cas de l’invariant

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}$

auquel correspond l’expression

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)\,:$

Soit, en effet,

${\begin{alignedat}{3}\delta \Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta y_{i},\\\delta '\!\Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta '\!x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta '\!y_{i}.\end{alignedat}}$

On devrait avoir une égalité de la forme

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)={}&{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta x_{i}+b_{i}\,\delta y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta '\!x_{i}+e_{i}\,\delta '\!y_{i}\right)\\&-{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta '\!x_{i}+b_{i}\,\delta '\!y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta x_{i}+e_{i}\,\delta y_{i}\right).\end{aligned}}$

Or cela est impossible puisque le premier membre est une forme bilinéaire de déterminant 1 et le second une forme bilinéaire de déterminant 0.

Nous devons donc conclure que les conditions (15) sont toujours remplies.

284.Recherchons maintenant si les équations (14) peuvent admettre plusieurs solutions.

Soient

${\begin{array}{llll}\mathrm {B} _{1},&\mathrm {B} _{2},&\ldots ,&\mathrm {B} _{n},\\\mathrm {B} _{1}',&\mathrm {B} _{2}',&\ldots ,&\mathrm {B} _{n}'\end{array}}$

ces deux solutions, et supposons que l’on n’ait pas

${\frac {\mathrm {B} _{k}}{\mathrm {B} _{k}'}}={\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\,;$

alors les deux équations

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}},\\\mathrm {B} _{k}'\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}'\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}\end{aligned}}$

entraîneront

${\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}={\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}=0.$

Alors les indices

$1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad n$

se répartiront en un certain nombre de groupes, autant qu’il y a de valeurs différentes pour le rapport ${\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\,;$ deux indices appartiendront au même groupe s’ils correspondent à une même valeur du rapport ${\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\cdot$

Alors, pour que $\alpha _{k}$ dépende de $\gamma _{i}$ (ou $\alpha _{i}$ de $\gamma _{k}$), il faut que les indices $i$ et $k$ appartiennent au même groupe.

Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait deux groupes seulement comprenant respectivement les indices

${\begin{array}{c}1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad p,\\p+1,\quad p+2,\quad \ldots ,\quad n-1.\end{array}}$

Alors

$\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{p}$

dépendront seulement de

$\alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \gamma _{2},\quad \ldots ,\quad \gamma _{p},$

et

$\alpha _{p+1},\quad \alpha _{p+2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}.$

dépendront seulement de

$\alpha _{0},\quad \gamma _{p+1},\quad \gamma _{p+2},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1}.$

Il y a alors ce fait que les exposants caractéristiques $\alpha _{k}$ forment plusieurs groupes indépendants ; de telle façon que les $\alpha _{k}$ d’un groupe ne dépendent pas des produits $\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'$ relatifs à un autre groupe.

Les solutions périodiques pour lesquelles cette circonstance se produira (ou pour lesquelles il y aurait une relation entre les $\alpha _{k}$) pourront s’appeler particulières.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Pour qu’il y eût d’autre invariant algébrique que ceux que nous connaissons, il faudrait, ou bien que toutes les solutions périodiques fussent particulières, ou bien qu’elles fussent toutes singulières au sens du n^o 257.

Je n’entreprendrai pas de démontrer que cette circonstance ne peut se présenter dans le problème des trois corps ; mais cela paraîtra bien invraisemblable.

Invariants quadratiques.

285.Étudions maintenant au même point de vue les invariants quadratiques, c’est-à-dire les invariants intégraux de la forme

$\int {\sqrt {\mathrm {F} }},$

où $\mathrm {F}$ est une forme quadratique par rapport aux différentielles $dx_{i},\,dy_{i}.$

Soit

$\mathrm {F} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,dx_{i}\,dx_{k},$

où les $\mathrm {H}$ sont des fonctions des $x$ et des $y$ et où le produit $dx_{i}\,dx_{k}$ peut être remplacé dans certains termes par le produit $dx_{i}\,dy_{k}$ ou $dy_{i}\,dy_{k}.$

Nous pourrons alors écrire l’équation suivante analogue à l’équation (3) du n^o 278

(1)

${\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,\delta x_{i}\,\delta x_{k}=\mathrm {const.}$

D’autre part, nous avons trouvé au n^o 278

${\begin{aligned}\delta x_{i}&=\xi _{i}+t\xi _{i.1},&\delta y_{i}&=\eta _{i}+t\eta _{i.1},&\end{aligned}}$

Nous pourrons alors écrire l’équation (1) sous la forme

$\mathrm {D} +\mathrm {E} \,t+\mathrm {F} \,t^{2}=\mathrm {const.} ,$

où $\mathrm {D,\,E.\,F}$ sont développés suivant les puissances des $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ $\mathrm {A} 'e^{-\alpha t}$ et des sinus et cosinus des multiples de ${\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}(t+h)$ et sont, d’autre part, quadratiques par rapport aux

$\delta \mathrm {A} \,e^{\alpha t},\quad \delta \mathrm {A} '\,e^{-\alpha t},\quad \delta \mathrm {C} ,\quad \delta h.$

On devra donc avoir

$\mathrm {E} =\mathrm {F} =0,$

et de plus $\mathrm {D}$ devra être indépendant de $t,$ ce qui montre que $\mathrm {D}$ devra être linéaire par rapport aux expressions suivantes

${\begin{aligned}\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {A} _{j},\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {C} ,\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta h,\\\,\delta \mathrm {C} \;\;&\delta h,\end{aligned}}$

ou par rapport aux expressions qu’on en déduit en permutant $\mathrm {A} _{k}$ et $\alpha _{k}',$ ou $\mathrm {A} _{j}$ et $\mathrm {A} _{j}'.$

Les coefficients seront développés suivant les puissances des produits $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'$ et de $\mathrm {C}$ (si l’on suppose que la solution périodique corresponde à la valeur zéro de la constante des forces vives).

286.Revenons aux équations (7) du n^o 280 et raisonnons comme dans ce n^o 280 ; nous verrons que l’expression

$\Pi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,\delta x_{i}\,\delta x_{k},$

quand on y remplace les $x_{i}$ et les $y_{i}$ par leurs développements en fonctions des $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi$ et $\Theta ,$ devra satisfaire aux conditions suivantes

1^o Elle devra être linéaire par rapport aux quantités suivantes

(8 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\delta f_{k}&\,\delta f_{k}',\\f_{k}'f_{j}'\,\delta f_{k}&\,\delta f_{j},\\f_{k}'\,\delta f_{k}&\,\delta \Phi ,\\f_{k}'\,\delta f_{k}&\,\delta \Theta ,\\\delta \Phi \;&\,\delta \Theta ,\\\delta \Phi ^{2}&\,\delta \Theta ^{2},\end{aligned}}\right.$

les coefficients étant développés suivant les puissances des $f_{k}f_{k}'$ et de $\Phi .$

2^o Elle ne dépendra pas de $\Theta ,$ mais seulement de $\delta \Theta .$

3^o Si ces conditions sont remplies, l’expression $\Pi$ ne contiendra le temps ni sous la forme exponentielle, ni sous la forme trigonométrique.

Il reste à chercher la condition pour que le temps n’y entre pas non plus en dehors des signes exponentiels et trigonométriques.

Reprenons les équations (9) du n^o 280 ; nous verrons qu’aux divers termes du Tableau (8 bis) correspondent les termes suivants

(10 bis)

$\left\{{\begin{aligned}&\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}'+t\left(\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}'\,\delta \alpha _{k}-\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{k}\right)-\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'t^{2}(\delta \alpha _{k})^{2},\\&\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j}+\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'t\left(\mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j}+\mathrm {A} _{j}\,\delta \alpha _{j}\,\delta \mathrm {A} _{k}\right)\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j},\\&\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} +\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'t\,\delta \alpha _{k}\,\delta \mathrm {C} ,\\&\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \beta _{0}+\mathrm {A} _{k}'\,t\left(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{0}+\mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \beta _{0}\right)\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{0},\\&\delta \mathrm {C} \,\delta \beta _{0}+t\,\delta \mathrm {C} \,\delta \alpha _{0}\,;\qquad \delta \mathrm {C} ^{2},\qquad \delta \beta _{0}^{2}+2t\,\delta \beta _{0}\,\delta \alpha _{0}+t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}.\end{aligned}}\right.$

Faisons d’abord disparaître les termes en $t^{2}.$

L’ensemble de ces termes est une forme quadratique par rapport à

$\delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1}.$

Cette forme quadratique doit être identiquement nulle.

Le coefficient de $\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j}\,t^{2}$ devra donc être nul. Or, il y a quatre termes qui pourraient introduire le produit $t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j}\,:$ ce sont les termes en

$f_{k}'f_{j}'\,\delta f_{k}\,\delta f_{j},\quad f_{k}'f_{j}\,\delta f_{k}\,\delta f_{j}',\quad f_{k}f_{j}'\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j},\quad f_{k}f_{j}\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j}'.$

Désignons pour abréger ces quatre expressions par $\omega _{1},$ $\omega _{2},$ $\omega _{3},$ $\omega _{4}\,;$ l’ensemble de nos quatre termes s’écrira alors

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{4},$

$\psi _{1},\,\psi _{2},\,\psi _{3}$ et $\psi _{4}$ étant développables suivant les puissances des $f_{k}f_{k}'$ et de $\Phi .$ Pour que le coefficient de $t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j}$ disparaisse on devra avoir identiquement

$\psi _{1}+\psi _{2}+\psi _{3}+\psi _{4}=0.$

De même le coefficient de $t^{2}\,\delta ^{2}\alpha _{k}$ devra s’annuler ; or il provient des termes en

$\delta f_{k}\,\delta f_{k}',\quad f_{k}^{2}\,\delta f_{k}'^{2},\quad f_{k}'^{2}\,\delta f_{k}^{2}.$

Désignons pour abréger ces trois expressions par $\omega _{1}',$ $\omega _{2}',$ $\omega _{3}'$ et l’ensemble des trois termes par

$\psi _{1}'\omega _{1}'+\psi _{2}'\omega _{2}'+\psi _{3}'\omega _{3}',$

$\psi _{1},\,\psi _{2},\,\psi _{3}$ étant développables, suivant les puissances des $f_{k}f_{k}'$ et de $\Phi .$

Pour que le coefficient de $t^{2}\,\delta ^{2}\alpha _{k}$ disparaisse on devrait avoir

(11)

$f_{k}f_{k}'(\psi _{2}'+\psi _{3}')-\psi _{1}'=0.$

Pour la solution périodique on a

$f_{1}=f_{1}'=f_{2}=f_{2}'=\ldots =f_{n-1}=f_{n-1}'=0.$

Tous les termes qui contiennent en facteur l’une des expressions qui figurent à la 2^e, 3^e ou 4^e lignes du Tableau (8 bis) doivent alors s’annuler, car chacune de ces expressions contient en facteur $f_{k}$ ou $f_{k}'.$

Les seuls termes de l’expression $\Pi$ qui ne s’annulent pas pour la solution périodique sont donc les termes en

$\delta \varphi _{k}\,\delta f_{k}',\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Phi ^{2},\quad \delta \Theta ^{2},$

L’équation (11) montre que $\psi _{1}'$ contient en facteur $f_{k}f_{k}'\,:$ donc le terme $\psi _{1}'\,\delta f_{k}\,\delta f_{k}'$ doit s’annuler également. Il ne reste plus que les termes en

$\delta \Phi ^{2},\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Theta ^{2}.$

Le premier ne contient pas $t,$ le second le contient au 1^er degré, le troisième au 2^e degré.

Ce troisième terme étant le seul qui contienne $t^{2}$ doit être nul ; s’il est nul, le deuxième terme étant le seul qui contienne $t$ sera nul également.

En définitive, tous les termes de $\Pi$ s’annulent pour la solution périodique sauf le terme en $\delta \Phi ^{2}.$

Or, dans le problème général de la Dynamique, de même que dans les cas du problème des trois corps que nous avons appelés le problème restreint, le problème général réduit et le problème plan réduit, nous connaissons un invariant quadratique et nous n’en connaissons qu’un.

Si j’écris l’équation des forces vives sous la forme

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,$

cet invariant n’est autre chose que

$\int {\sqrt {\left(d\mathrm {F} \right)^{2}}},$

c’est à cet invariant que correspond le terme en $\delta \Phi ^{2}$ qui ne s’annule pas.

Si donc il existe un invariant quadratique, autre que celui qui est connu, cet invariant devra s’annuler pour tous les points de la solution périodique.

En d’autres termes, cette solution périodique devra être singulière au sens du n^o 257, en ce qui concerne cet invariant.

Il y aurait exception si les $n$ exposants

$\alpha _{0},\quad \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}$

n’étaient pas indépendants les uns des autres, mais s’il y avait une relation entre eux. Dans ce cas, en effet, le coefficient de $t^{2},$ qui est une forme quadratique par rapport aux $n$ variables

$\delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1},$

pourrait s’annuler identiquement sans que tous ses coefficients fussent nuls puisque ces $n$ variables ne seraient plus indépendantes.

En résumé, pour qu’il y eût d’autres invariants quadratiques que ceux que nous connaissons, il faudrait que toutes les solutions périodiques fussent singulières ou particulières.

Il n’est pas très vraisemblable qu’il en soit ainsi pour le problème des trois corps.

Cas du problème restreint.

287.On peut imaginer un autre mode de discussion que nous n’appliquerons qu’au cas du problème restreint. La discussion du n^o 257 a laissé subsister la possibilité de deux invariants quadratiques dont un est connu. Supposons que ces deux invariants quadratiques existent et soit $\Pi$ la forme quadratique correspondant à l’un de ces invariants. D’après ce qui précède $\Pi$ pourra contenir des termes en

(1)

$\left\{{\begin{array}{c}\delta f_{1}\,\delta f_{1}',\quad f_{1}'\,\delta f_{1}\,\delta \Phi ,\quad f_{1}\,\delta f_{1}'\,\delta \Phi ,\quad f_{1}'\,\delta f_{1}\,\delta \Theta ,\quad f_{1}\,\delta f_{1}'\,\delta \Theta ,\\f_{1}'^{2}\,\delta f_{1}^{2},\quad f_{1}^{2}\,\delta f_{1}'^{2},\quad \delta \Theta ^{2},\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Phi ^{2}.\end{array}}\right.$

D’autre part, $\Pi$ est une forme quadratique par rapport aux quantités

$\delta x_{1},\quad \delta x_{2},\quad \delta y_{1},\quad \delta y_{2},$

dont les coefficients sont des fonctions algébriques en $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1},\,y_{2}.$

Voici quelles seront les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ que nous choisirons. Dans ce problème, que j’appelle restreint, deux des corps décrivent des circonférences concentriques et le troisième dont la masse est nulle se meut dans le plan de ces circonférences. Je rapporterai ce troisième corps à des axes mobiles tournant d’un mouvement uniforme autour du centre de gravité des deux premiers ; l’un de ces axes coïncidera constamment avec la droite qui joint ces deux premiers corps. J’appellerai $x_{1}$ et $x_{2}$ les coordonnées du troisième corps par rapport à ces axes mobiles, et $y_{1}$ et $y_{2}$ les projections de la vitesse absolue sur les axes mobiles.

Posons alors

$\Phi =\mathrm {F} +\omega \,\mathrm {G} ,$

où $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ désignent la fonction des forces vives et la fonction des aires dans le mouvement absolu, et où $\omega$ désigne la vitesse angulaire de rotation des deux premiers corps autour de leur centre de gravité commun. Les équations prendront la forme canonique

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

L’intégrale $\Phi =\mathrm {const.}$ n’est autre chose que « l’intégrale de Jacobi » (cf. Tome 1, n^o 9, page 23).

Cela posé, notre expression $\Pi$ sera une forme quadratique en

$\delta x_{1},\quad \delta x_{2},\quad \delta y_{1},\quad \delta y_{2},$

dont les coefficients seront algébriques en $x_{i}$ et $y_{i}.$ Si nous supposons que les quatre variables $x$ et $y$ sont liées par la relation

$\Phi =\mathrm {const.} ,$

qui entraîne la suivante

$\delta \Phi =0,$

nos quatre variables $\delta x_{i},$ $\delta y_{i}$ ne seront plus indépendantes ; on pourra éliminer l’une d’entre elles, et $\Pi$ deviendra une forme quadratique ternaire.

Considérons un point de la solution périodique ; pour ce point on aura

$f_{1}=f_{1}'=0.$

Toutes les expressions (1) s’annuleront donc à l’exception de

$\delta f_{1}\,\delta f_{1}',\quad \delta \Theta ^{2},\,\delta \Phi \,\delta \Theta$ et $\delta \Phi ^{2}.$

Si l’on suppose $\delta \Phi =0,$ elles s’annuleront toutes à l’exception de

$\delta f_{1}\,\delta f_{1}'$  et  $\delta \Theta ^{2}.$

Soit donc, pour un point de la solution périodique,

$\Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'+\mathrm {C} \,\delta \Theta ^{2}.$

L’ensemble des termes en $t^{2}$ se réduira donc, pour ce même point, à

$-\mathrm {B} f_{1}f_{1}'\,t^{2}\,\delta \alpha _{1}^{2}+\mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}$

(cf., supra, Tableau 10 bis) et, puisque $f_{1}=f_{1}'=0,$ à

$\mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}.$

Les termes en $t^{2}$ doivent disparaître ; celui-ci est le seul qui ne s’annule pas pour le point considéré ; tous les autres sont nuls, quand même on ne s’assujettirait pas à la condition $\delta \Phi =0,$ car $\delta \Phi \,\delta \Theta$ et $\delta \Phi ^{2}$ ne donnent pas de termes en $t^{2}.$

Or $\delta \alpha _{0}$ n’est pas identiquement nul. On a, pour un point de la solution périodique,

${\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}}}={\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}'}}={\frac {d\alpha _{0}}{d\Theta }}=0,$

mais on ne saurait avoir ${\frac {d\alpha _{0}}{d\Phi }}=0\,;$ ce serait supposer qu’il y a une infinité continue de solutions périodiques de même période, ce qui n’a pas lieu.

On peut remarquer toutefois que ${\frac {d\alpha _{0}}{d\Phi }}$ contient en facteur la petite quantité, que je désigne par $\mu ,$ c’est-à-dire la masse du second corps, et par conséquent que $\delta \alpha _{0}$ s’annule pour $\mu =0,$ c’est-à-dire dans le mouvement képlérien.

Les termes en $t^{2}$ ne peuvent donc disparaître que si l’on a

$\mathrm {C} =0,$

d’où

$\Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'.$

Mais cette dernière égalité montrerait que $\Pi$ se réduit à une forme quadratique binaire et par conséquent que son discriminant est nul. Ainsi le discriminant $\Delta$ de $\Pi$ devrait s’annuler pour tous les points de toutes les solutions périodiques.

288.Mais une relation algébrique telle que

$\Delta =0$

ne peut pas, à moins de se réduire à une identité, être vraie pour tous les points de toutes les solutions périodiques.

En effet, adjoignons à la relation

(2)

$\Delta =0$

deux autres relations

(3)

$\mathrm {F} =\beta ,\qquad \mathrm {G} =\gamma$

(où $\beta$ et $\gamma$ sont deux constantes arbitraires, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ les deux fonctions ainsi désignées dans le numéro précédent) et une quatrième relation algébrique quelconque

(4)

$\mathrm {H} =0,$

le nombre des solutions de ces quatre équations algébriques sera limité quelles que soient les constantes $\beta$ et $\gamma .$

Considérons maintenant une solution périodique, les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ seront développées suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

(5)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu x_{i}^{1}+\ldots \\y_{i}&=y_{i}^{0}+\mu y_{i}^{1}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

De même $\mathrm {F}$ sera développable suivant les puissances de $\mu$ et l’on aura

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots .$

$\mathrm {G}$ et $\mathrm {H}$ seront indépendants de $\mu .$

Reste $\Delta \,;$ je dis que cette fonction, qui par hypothèse est algébrique en $x_{i}$ et $y_{i},$ dépend de même algébriquement de $\mu .$

En effet, en exprimant que

$\int {\sqrt {\Pi }}$

est un invariant intégral, on sera conduit à certaines relations où entreront les coefficients de $\Pi ,$ leurs dérivées et les coefficients des équations différentielles du mouvement.

Nous avons supposé que $\Pi$ est une fonction algébrique des $x_{i}$ et des $y_{i}\,;$ nous pouvons supposer que cette fonction algébrique entre comme cas particulier dans un type déterminé, ne contenant pas $\mu$ explicitement, mais dépendant algébriquement d’un certain nombre de paramètres arbitraires. Alors $\textstyle \int {\sqrt {\Pi }}$ ne serait pas un invariant intégral quels que soient ces paramètres, mais seulement quand ces paramètres prendront certaines valeurs particulières, dépendant de $\mu .$

En exprimant que $\textstyle \int {\sqrt {\Pi }}$ est un invariant intégral, on est conduit à certaines équations algébriques entre $\mu$ et ces paramètres ; ces équations devront être compatibles et il est clair qu’on en tirera les paramètres en fonctions algébriques de $\mu .$

Les coefficients de la forme $\Pi$ et $\Delta$ seront donc aussi algébriques en $\mu .$

L’équation $\Delta =0$ est donc algébrique en $\mu \,;$ et nous pouvons supposer qu’on lui a fait subir une transformation telle que le premier membre soit un polynôme entier en $\mu .$

Nous écrirons donc

$\Delta =\Delta _{0}+\mu \Delta _{1}+\mu ^{2}\Delta _{2}+\ldots .$

De plus, $\Delta _{0}$ ne sera pas identiquement nul, à moins que $\Delta$ ne le soit. Si, en effet, $\Delta _{0}$ s’annulait, $\Delta$ contiendrait un facteur $\mu ,$ que l’on pourrait faire disparaître.

La fonction $\Delta$ doit s’annuler quand on y remplace $x_{i}$ et $y_{i}$ par les développements (5). Elle devient alors développable suivant les puissances de $\mu$ et, le terme indépendant de $\mu$ devant s’annuler, on aura

(2 bis)

$\Delta _{0}(x_{i}^{0},y_{i}^{0})=0.$

Remarquons maintenant que l’on doit avoir

(3 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}(x_{i}^{0},y_{i}^{0})&=\beta _{0},\\\mathrm {G} (x_{i}^{0},y_{i}^{0})&=\gamma _{0},\end{aligned}}\right.$

$\beta _{0}$ et $\gamma _{0}$ étant des constantes. Il suffit, pour s’en assurer, de se souvenir que, pour $\mu =0,$ le mouvement se réduit au mouvement képlérien.

Prenons maintenant, par exemple,

$\mathrm {H} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1$

et écrivons l’équation

(4 bis)

$\left(x_{1}^{0}\right)^{2}+\left(x_{2}^{0}\right)^{2}=1.$

Observons ensuite que, si l’on suppose $\mu =0,$ le troisième corps décrira une ellipse képlérienne ; soient $\xi$ et $\eta$ les coordonnées de ce corps, non par rapport aux axes mobiles, mais par rapport aux axes de symétrie de cette ellipse.

Les équations de l’ellipse képlérienne s’écriront alors

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi &=\xi _{0}&{}+{}&\xi _{1}\cos \varphi &{}+{}&\xi _{2}\cos 2\varphi +\ldots ,\\\eta &=&{}{}&\eta _{1}\sin \varphi &{}+{}&\eta _{2}\sin 2\varphi +\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Les coefficients $\xi _{k},\,\eta _{k}$ dépendront de deux constantes qui sont le grand axe et l’excentricité de l’ellipse, et par conséquent de $\beta _{0}$ et $\gamma _{0}.$ On aura d’ailleurs

$\varphi =n_{1}t+\varpi _{1},$

où le moyen mouvement $n_{1}$ dépend de $\beta _{0}$ et où $\varpi _{1}$ est une nouvelle constante d’intégration.

L’intersection de l’ellipse (6) avec le cercle

$\xi ^{2}+\eta ^{2}=1$

aura lieu en deux points qui seront donnés par les équations

(7)

${\begin{aligned}\xi &=\cos \theta ,&\eta &=\pm \sin \theta ,&\varphi &=\pm \varphi _{0}.\end{aligned}}$

On aura ensuite

(8)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{1}^{0}&=\xi \cos(\omega t+\varpi _{2})&{}+{}&\eta \sin(\omega t+\varpi _{2}),\\x_{2}^{0}&=\xi \sin(\omega t+\varpi _{2})&{}-{}&\eta \cos(\omega t+\varpi _{2}),\\\end{alignedat}}\right.$

où $\varpi _{2}$ est une nouvelle constante d’intégration.

On obtiendra les solutions de l’équation (4 bis) en combinant les équations (7) et (8), ce qui donne

${\begin{aligned}x_{1}^{0}&=\cos \left[\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\x_{1}^{0}&=\cos \left[-\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(-\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\\end{aligned}}$

($k$ étant un entier quelconque).

Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que le rapport ${\frac {\omega }{b_{1}}}$ soit commensurable. Mettons ce rapport sous la forme d’une fraction réduite à sa plus simple expression et soit $\mathrm {D}$ son dénominateur. On voit que l’équation (4 bis) admettra $2\mathrm {D}$ solutions distinctes.

Les équations (2 bis), (3 bis) et (4 bis) ne devraient admettre qu’un nombre limité de solutions quelles que soient les constantes $\beta _{0}$ et $\gamma _{0}.$ Or je puis choisir $\beta _{0}$ de telle sorte que ${\frac {\omega }{n_{1}}}$ ait telle valeur que je veux et, par conséquent, que $\mathrm {D}$ soit aussi grand que je veux.

Cela ne peut arriver que si $\Delta _{0}$ et par conséquent si $\Delta$ est identiquement nul.

Par conséquent le discriminant de la forme $\Pi$ est identiquement nul et cette forme doit se réduire à une forme binaire.

On démontrerait de la même manière qu’au sens du n^o 257 il ne peut pas arriver que toutes les solutions périodiques soient singulières.

La démonstration n’est ainsi donnée que dans un cas très particulier, mais on peut entrevoir la possibilité d’une extension au cas général.

289.La forme $\Pi ,$ regardée comme forme binaire, doit se réduire à

$\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'$

pour un point d’une solution périodique ; la forme binaire sera donc définie (c’est-à-dire égale à la somme de deux carrés) si la solution périodique est stable, c’est-à-dire si les exposants caractéristiques sont imaginaires ; elle sera indéfinie (c’est-à-dire égale à la différence de deux carrés) si la solution périodique est instable, c’est-à-dire si les exposants caractéristiques sont réels.

Supposons encore $\mu$ très petit et reprenons l’équation (4 bis).

D’après les principes du Chapitre III (n^o 42), pour une valeur donnée de $\beta _{0},$ nous aurons au moins deux solutions périodiques dont une stable et une instable. Soient

$\varpi _{1}',\quad \varpi _{2}'\,;\qquad \varpi _{1}'',\quad \varpi _{2}''$

les valeurs correspondantes des constantes $\varpi _{1}$ et $\varpi _{2}.$

Soient

${\begin{alignedat}{5}\theta &{}+{}&{\frac {\omega }{n_{1}}}\left(\varphi _{0}-\varpi _{1}'\right)&{}+{}&\varpi _{2}'&=\psi ',\\[0.75ex]\theta &{}+{}&{\frac {\omega }{n_{1}}}\left(\varphi _{0}-\varpi _{1}''\right)&{}+{}&\varpi _{2}''&=\psi '',\end{alignedat}}$

l’équation (4 bis) nous donnera, pour la première solution périodique,

$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '+{\frac {2k\omega \pi }{n_{1}}}\right)$

et pour la seconde

$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {2k\omega \pi }{n_{1}}}\right)\cdot$

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer $\psi ''>\psi '$ et d’ailleurs $\psi '$ et $\psi ''$" compris entre $0$ et ${\frac {2\pi }{\mathrm {D} }}\cdot$ Alors la forme $\Pi$ sera

indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '\,+{\frac {2\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {2\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '\,+{\frac {4\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+{\frac {4\pi }{\mathrm {D} }}\right),$
$\ldots \ldots \ldots \ldots$	$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..,$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi '\,+2\pi \right),$
indéfinie pour	$x_{1}^{0}=\cos \left(\psi ''+2\pi \right)\,;$

ce qui montre que le discriminant de $\Pi$ considéré comme forme binaire doit s’annuler au moins $2\mathrm {D}$ fois, d’où l’on conclurait, comme plus haut, qu’il est identiquement nul.

La forme $\Pi$ se réduit donc à un carré ; donc, comme elle doit être égale à

$\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'$

pour tous les points d’une solution périodique, elle devrait s’annuler pour tous ces points.

Le même raisonnement montrerait encore qu’elle est identiquement nulle.

En résumé, au moins pour le cas particulier du problème restreint, il n’y a pas d’autre invariant quadratique que celui qui est connu.