Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Recherches sur la détermination du nombre des racines imaginaires dans les équations littérales

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur la détermination du nombre des racines imaginaires dans les équations littérales

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 343-374).

RECHERCHES
SUR LA
DÉTERMINATION DU NOMBRE DES RACINES IMAGINAIRES
DANS LES ÉQUATIONS LITTÉRALES^[1].

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1777.)

Dès qu’on eut résolu les équations du second degré, on dut remarquer que leurs racines ne peuvent être réelles à moins que le carré de la moitié du coefficient du second terme ne soit plus grand que le dernier terme pris avec un signe contraire ; parce que l’expression de la racine contient le radical carré de la différence de ces deux quantités et n’en contient point d’autre. On ne peut pas dire la même chose par rapport aux équations du troisième degré ; car on sait que l’expression de la racine de ces équations renferme des radicaux carrés et cubiques compliqués de manière qu’il est très-difficile de démêler tous les cas où les racines peuvent être réelles. Aussi voyons-nous que les premiers Algébristes italiens, à qui est due la résolution des équations du troisième degré, furent fort embarrassés à juger de la nature des racines de ces équations d’après l’expression générale de ces racines, surtout dans le cas qu’on a appelé depuis irréductible, et dans lequel les racines sont représentées sous une forme imaginaire. Harriot me paraît être proprement le premier qui ait démontré d’une manière directe et analytique que les équations du troisième degré sans second terme ne sauraient avoir leurs racines réelles, à moins que le cube du tiers du coefficient du troisième terme, pris avec un signe contraire, ne soit plus grand que le carré de la moitié du dernier terme ; ce qui donne précisément le cas irréductible. Il est vrai que Viète et même Bombelli avaient déjà prouvé avant lui que dans ce cas les racines sont réelles malgré leur déguisement sous une forme imaginaire ; mais ces Auteurs n’avaient employé pour cela que des constructions géométriques, au lieu que le savant Analyste anglais a fait voir à priori et par la théorie même des équations, que la condition dont nous venons de parler est indispensable pour la réalité de toutes les racines en sorte que quand elle n’a pas lieu il faut nécessairement que quelques-unes des racines soient imaginaires, quelle que puisse être d’ailleurs leur forme imaginaire. Voici à peu près comment Harriot s’y prend pour démontrer cette proposition (voyez la Section V de son Artis analyticæ praxis).

1. Soient $a,b,c$ les trois racines réelles d’une équation du troisième degré et $x$ l’inconnue ; cette équation, par les principes établis dans le même Ouvrage, sera représentée par le produit des trois quantités $x-a,\ x-b,\ x-c,$ de sorte qu’elle sera de la forme

$x^{3}-(a+b+c)x^{2}+(ab+ac+bc)x-abc=0.$

Pour faire évanouir le second terme, il faudra supposer a+b+c=0, d’où l’on voit qu’il est impossible que les trois racines soient positives ou négatives à la fois ; il y en aura donc nécessairement deux positives et une négative, ou deux négatives et une positive. Soient $b$ et $c$ les deux racines de même signe, et $a$ celle de signe contraire, on aura

$b=\pm p,\quad c=\pm q,\quad a=\mp (p+q),$

$p,q$ étant des nombres positifs ; substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on aura la transformée

$x^{3}-\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)x\pm \left(p^{2}q+q^{2}p\right)=0,$

qui sera donc la formule générale des équations du troisième degré dont le second terme est évanoui, et dont toutes les racines sont réelles.

Donc, si l’on représente, en général, cette équation par

$x^{3}-\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

on aura

$\mathrm {B} =p^{2}+pq+q^{2},\quad \mathrm {C} =\pm \left(p^{2}q+q^{2}p\right),$

$p,q$ étant des quantités réelles positives.

Or Harriot démontre que, quelles que soient les valeurs de $p$ et $q,$ on a toujours nécessairement

$27\left(p^{2}p+q^{2}p\right)^{2}<4\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)^{3}\,;$

et sa démonstration est fondée sur ce Théorème d’Euclide, que si quatre grandeurs sont proportionnelles, la somme des extrêmes est toujours plus grande que celle des moyennes^[2] ; d’où il s’ensuit que l’on aura

$p^{3}q^{3}+p^{3}q^{3}<p^{4}q^{2}+p^{2}q^{4}<p^{5}q+pq^{5}<p^{6}+q^{6}\,;$

donc, ajoutant ensemble les formules suivantes

${\begin{aligned}&3p^{4}+3p^{2}q^{4}<3p^{6}+3q^{6},\\&12p^{3}q^{3}+12p^{3}q^{3}<12p^{5}q+12pq^{5},\\&p^{3}q^{3}+p^{3}q^{3}<p^{6}+q^{6},\\&24p^{4}q^{2}+28p^{3}q^{3}+24p^{2}q^{4}=24p^{4}q^{2}+28p^{3}q^{3}+24p^{2}q^{4},\end{aligned}}$

on aura

$27p^{4}q^{2}+54p^{3}q^{3}+27p^{2}q^{4}$

$<4p^{6}+12p^{5}q+12pq^{5}+4q^{6}+24p^{4}q^{2}+28p^{3}q^{3}+24p^{2}q^{4},$

c’est-à-dire

$27\left(p^{2}q+pq^{2}\right)^{2}<4\left(p^{2}+pq+q^{2}\right)^{3}.$

Donc on aura

$27(\pm \mathrm {C} )^{2}<4\mathrm {B} ^{3},\quad {\text{c'est-à-dire,}}\quad \mathrm {\left({\frac {B}{3}}\right)^{2}>\left({\frac {C}{3}}\right)^{2}} .$

Ce sont là les premiers pas qui aient été faits dans cette partie de la Théorie des équations ; j’ai rapporté l’Analyse même d’Harriot, parce qu’elle est très-ingénieuse, et qu’il est d’ailleurs agréable de connaître les chemins que les premiers inventeurs ont suivis.

2. Nous remarquerons d’abord qu’on peut rendre la démonstration précédente plus générale et plus simple de cette manière. Quelles que soient les racines $a,b,c,\ldots$ on aura nécessairement, pour que le second terme disparaisse,

$a+b+c=0,$

donc

$a=-b-c\,;$

donc on aura la transformée

$x^{3}-\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)x+b^{2}c+bc^{2}=0,$

et par conséquent

${\begin{aligned}\mathrm {B} \ \ =&b^{2}+bc+c^{2},\\\mathrm {C} \ \ =&b^{2}c+bc^{2},\\\mathrm {B} ^{3}=&b^{6}+3b^{5}c+6b^{4}c^{2}+7b^{3}c^{3}+6b^{2}c^{4}+3bc^{5}+c^{6},\\\mathrm {C} ^{2}=&b^{4}c^{2}+2b^{3}c^{3}+b^{2}c^{4}\end{aligned}}$

et de là

${\begin{aligned}&\mathrm {4B^{3}-27C^{2}} \\&\quad =4b^{6}+12b^{5}c-3b^{4}c^{2}-26b^{3}c^{3}-3b^{2}c^{4}+12bc^{5}+4c^{6}\\&\quad =\left(2b^{2}+3b^{2}c-3bc^{2}-2c^{3}\right)^{2}=(b-c)^{2}\left[2\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)+3bc\right]^{2}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit évidemment que la quantité $4\mathrm {B} ^{3}$ doit nécessairement être plus grande que la quantité $27\mathrm {C} ^{2},$ tant que les racines $b$ et $c$ sont réelles, parce que la différence $4\mathrm {B^{3}-27C^{2}}$ est égale au carré d’une quantité réelle, lequel est toujours nécessairement positif.

3. Mais il y a plus ; non-seulement la condition de

$4\mathrm {B^{3}>27C^{2}}$

$a$ nécessairement lieu lorsque toutes les racines sont réelles, mais aussi,

lorsqu’elle a lieu, toutes les racines sont nécessairement réelles. Il est visible que cette proposition ne suit pas immédiatement de la précédente, et qu’elle demande une démonstration particulière ; la voici.

D’abord on sait que l’équation

$x^{3}-\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0$

a nécessairement une racine réelle, parce qu’elle est d’un degré impair ; supposons donc que $a$ soit la racine réelle ; donc puisque $a=-b-c,$ il est clair que $b+c$ sera une quantité réelle ; donc, puisque le coefficient réel $\mathrm {C}$ est égal à $(b+c)bc,$ il s’ensuit que $bc$ sera aussi une quantité réelle ; or on a trouvé

$4\mathrm {B^{3}-27C^{2}} =(b-c)^{2}\left[2\left(b^{2}+bc+c^{2}\right)+3bc\right]^{2}\,;$

donc, tirant la racine carrée, on aura

${\sqrt {4\mathrm {B^{3}-27C^{2}} }}=(b-c)\left[2(b+c)^{2}+bc\right]\,;$

d’où l’on voit que, lorsque $\mathrm {4B^{3}-27C^{2}}$ est une quantité positive, $b-c$ sera aussi une quantité réelle ; ainsi $b+c$ et $b-c$ étant des quantités réelles, il est clair que $b$ et $c$ seront l’une et l’autre réelles.

Si l’on avait

$\mathrm {4B^{3}-27C^{2}} =0,$

alors on aurait, ou

$b-c=0,$

et par conséquent $b=c,$ ou

$2(b+c)^{2}+bc=0,\quad {\text{savoir}}\quad b^{2}+{\frac {5bc}{2}}+c^{2}=0,$

ce qui donne

$b=-{\frac {c}{2}},\quad {\text{ou}}\quad b=-2c,$

de sorte que, comme $a=-b-c,$ on aura, ou $a=b,$ ou $a=c\,;$ d’où l’on voit que la condition de $\mathrm {4B^{3}-27C^{2}} =0$ rend toujours deux des racines de l’équation proposée égales entre elles.

4. Voilà donc le caractère auquel on peut reconnaître à priori si une équation du troisième degré manquant du second terme a toutes ses racines réelles, ou si elle en a deux imaginaires ou deux égales ; et comme on peut toujours faire évanouir le second terme de toute équation en augmentant toutes les racines du coefficient du second terme divisé par l’exposant même de l’équation, ce qui n’influe en rien sur l’état de réalité ou d’imaginarité ou même d’égalité des racines, il s’ensuit que le caractère qu’on vient de trouver peut servir pour toutes les équations du troisième degré.

Soit proposée, en effet, l’équation générale du troisième degré

$x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0\,;$

si l’on y fait

$x=x'+{\frac {\mathrm {A} }{3}},$

elle se changera en celle-ci

$x'^{3}-\mathrm {B} 'x'-\mathrm {C} '=0,$

où

$\mathrm {B'={\frac {A^{2}}{3}}-B,\quad C'=-{\frac {2A^{3}}{3}}+{\frac {AB}{3}}-C} \,;$

donc les trois racines de la proposée seront ou toutes réelles et inégales, ou réelles mais deux égales entre elles, ou une réelle et deux imaginaires, suivant que l’on aura

$\mathrm {4\left({\frac {A^{2}}{3}}-B\right)^{3}-27\left({\frac {2A^{3}}{27}}-{\frac {AB}{3}}+C\right)^{2}} >{\text{ ou }}={\text{ ou }}<0,$

ou bien

$\mathrm {A^{2}B^{2}+18ABC-4A^{3}C-4B^{3}-27C^{2}} >{\text{ ou }}={\text{ ou }}<0,$

de sorte qu’il ne reste rien à désirer sur la connaissance de la nature des racines des équations du troisième degré.

5. Nous remarquerons ici en passant que de ce qu’on a trouvé dans le n^o 2

$\mathrm {4B^{3}-27C^{2}} =\left(2b^{2}+3b^{2}c-3bc^{2}-2c^{3}\right)^{2},$

on peut déduire aisément la résolution des équations du troisième degré. En effet, en tirant la racine carrée, on aura, après avoir divisé par $2,$

$b^{3}+{\frac {3b^{2}c}{2}}-{\frac {3bc^{2}}{2}}-c^{3}={\frac {\mathrm {\sqrt {4B^{3}-27C^{2}}} }{2}}\,;$

qu’on ajoute à cette équation celle-ci

$b^{2}c+bc^{2}=\mathrm {C} ,$

multipliée par un coefficient quelconque $m,$ on aura

$b^{3}+\left(m+{\frac {3}{2}}\right)b^{2}c-\left({\frac {3}{2}}-m\right)bc^{2}-c^{3}=m+\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {\sqrt {4B^{3}-27C^{2}}} }{2}}.$

Qu’on suppose le premier membre de cette équation égal au cube de $\lambda b-\mu c,$ $\lambda ,\mu$ étant des coefficients indéterminés, et comparant terme à terme, on aura

$\lambda ^{3}=1,\quad 3\lambda ^{2}\mu =-m-{\frac {3}{2}},\quad 3\lambda \mu ^{2}=m-{\frac {3}{2}},\quad \mu ^{3}=1.$

Les deux équations $\lambda ^{3}=1,\ \mu ^{3}=1,$ font voir que $\lambda$ et $\mu$ ne peuvent être que les racines cubiques de l’unité ; mais il est facile de voir qu’on ne doit pas prendre $\lambda =\mu ,$ car les deux autres équations donneraient

$3=-m-{\frac {3}{2}},\quad 3=m-{\frac {3}{2}},$

ce qui ne se peut ; ainsi il faudra que $\lambda$ et $\mu$ soient deux différentes racines de l’équation

$x^{3}-1=0\,;$

or supposant que $\lambda$ soit une de ces racines, en sorte que $\lambda ^{3}=1,$ on aura, en divisant l’équation par $x-\lambda ,$ celle-ci

$x^{2}+\lambda x+\lambda ^{2}=0,$

laquelle renfermera les deux autres racines, de sorte qu’il faudra que l’on ait

$\mu ^{2}+\lambda \mu +\lambda ^{2}=0\,;$

ainsi il faut voir si cette équation s’accorde avec les deux autres

$3\lambda ^{2}\mu =-m-{\frac {3}{2}},\quad 3\lambda \mu ^{2}=m-{\frac {3}{2}},$

lesquelles, en chassant $m,$ donnent

$3\lambda ^{2}\mu +3\lambda \mu ^{2}=-3,\quad {\text{ou bien}}\quad \lambda ^{2}\mu +\lambda \mu ^{2}+1=0\,;$

c’est-à-dire, en multipliant par $\lambda ^{2}$ et mettant $1$ à la place de $\lambda ^{3},$

$\lambda \mu +\mu ^{2}+\lambda ^{2}=0.$

Ainsi, pourvu qu’on prenne

$m=3\lambda \mu ^{2}+{\frac {3}{2}},$

ou, si l’on veut avoir une valeur de $m$ dans laquelle $\lambda$ et $\mu$ entrent également,

$m={\frac {3\lambda \mu (\mu -\lambda )}{2}},$

et que $\lambda ,\mu$ dénotent deux racines différentes de l’équation $x^{3}-1=0,$ on aura l’équation

$(\lambda b-\mu c)^{3}=m\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {\sqrt {4B^{3}-27C^{2}}} }{2}},$

d’où, tirant la racine cubique,

$\lambda b-\mu c={\sqrt[{3}]{m\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {\sqrt {4B^{3}-27C^{2}}} }{2}},}}\,;$

ainsi l’on pourra trouver $b$ et $c$ en donnant différentes valeurs à $\lambda$ ou $\mu \,;$ par exemple, en faisant $\lambda =1,$ on aura pour la détermination de $\mu ,$ l’équation

$\mu ^{2}+\mu +1=0,$

laquelle donne

$\mu ={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\,;$

de sorte qu’en substituant ces valeurs pour $\lambda ,$ et $\mu ,$ et prenant successive-

ment le signe supérieur ou l’inférieur de ${\sqrt {-3}},$ on aura deux équations qui serviront à trouver $b$ et $c.$ Mais nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette matière qui est étrangère à notre objet, et qui a déjà été traitée assez au long ailleurs.

6. Harriot n’a pas poussé ses recherches sur les conditions nécessaires pour la réalité des racines, au delà du troisième degré, et aucun de ceux qui sont venus après lui ne s’est occupé, que je sache, de cet objet, jusqu’à Newton qui dans son Arithmétique universelle a donné une règle assez simple pour reconnaître à priori quand une équation de degré quelconque renferme des racines imaginaires, et combien elle en renferme mais on sait que cette règle est insuffisante et imparfaite, même avec l’extension que MM. Maclaurin et Campbell y ontodonnée. La raison en est que cette règle n’est pas déduite de la considération immédiate des racines réelles et imaginaires, mais seulement de la considération de quelques conditions particulières qui doivent nécessairement avoir lieu quand toutes les racines sont réelles, et qui consistent en ce qu’alors la somme des carrés des racines, ou des carrés de leurs différences, ou, en général, des carrés de telles fonctions rationnelles qu’on voudra des racines d’une équation, doit toujours être une quantité positive. En effet il est facile de tirer de ce principe un grand nombre de conditions particulières sans lesquelles les racines ne peuvent être toutes réelles, mais on aurait tort de regarder ces conditions comme des caractères distinctifs des racines réelles et imaginaires.

7. Soit, par exemple, l’équation générale

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\mathrm {D} x^{m-4}-\ldots =0,$

dont les racines soient $x',x'',x''',\ldots ,x^{(m)}.$ On sait que le coefficient $\mathrm {A}$ sera la somme de toutes ces racines, le coefficient $\mathrm {B}$ la somme de leurs produits deux à deux, et ainsi de suite ; donc si l’on cherche une équation dont les racines soient les carrés de celles-là, et que cette équation soit représentée par

$y^{m}-\mathrm {P} y^{m-1}+\mathrm {Q} y^{m-2}-\mathrm {R} y^{m-3}+\mathrm {S} y^{m-4}-\ldots =0,$

$y$ étant $=x^{2},$ il est visible que le coefficient $\mathrm {P}$ sera égal à la somme des carrés $x'^{2},x''^{2},x'''^{2},\ldots ,$ que le coefficient $\mathrm {Q}$ sera égal à la somme des produits deux à deux de ces carrés, c’est-à-dire à la somme des carrés des produits $x'x'',x'x''',x''x''',\ldots ,$ et ainsi de suite ; de sorte que, comme le carré de toute quantité réelle est toujours positif, il faudra nécessairement, pour que les racines $x',x'',x''',\ldots$ soient toutes réelles, que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ soient toutes positives.

Or puisque $x^{2}=y,$ il n’y aura qu’à éliminer, par ce moyen, $x$ de l’équation proposée pour avoir la transformée en $y,$ et, pour cet effet, il n’y aura qu’à substituer ${\sqrt {y}}$ à la place de $x,$ ce qui donnera

$y^{\frac {m}{2}}-\mathrm {A} y^{\frac {m-1}{2}}+\mathrm {B} y^{{\frac {m}{2}}-1}-\mathrm {C} y^{{\frac {m-1}{2}}-1}+\mathrm {D} y^{{\frac {m}{2}}-2}-\mathrm {E} y^{{\frac {m-1}{2}}-2}+\ldots =0\,;$

or, comme ${\frac {m}{2}}$ ou ${\frac {m-1}{2}}$ est nécessairement une fraction, pour la faire évanouir on transportera de l’autre côté tous les termes qui renferment ${\frac {m-1}{2}}$ dans les exposants, on élèvera ensuite les deux membres au carré, après quoi on ordonnera l’équation par rapport aux puissances de $y,$ et l’on trouvera par la comparaison des termes

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A^{2}-2B} ,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B^{2}-2AC+2D} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {C^{2}-2BD+2AE-2F} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {D^{2}-2CE+2BF-2AG+2H} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura nécessairement, lorsque toutes les racines $x',x'',x''',\ldots$ sont réelles,

${\begin{aligned}&\mathrm {A^{2}-2B} >0,\\&\mathrm {B^{2}-2AC+2D} >0,\\&\mathrm {C^{2}-2BD+2AE-2F} >0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si quelqu’une de ces conditions n’a pas lieu, on en pourra conclure que la proposée renferme nécessairement des racines imaginaires ; mais on ne sera pas en droit de convertir la proposition en disant que les racines ne seront jamais imaginaires tant que ces conditions seront observées car il est visible que si l’on a

$\mathrm {A>0,\quad B<0,\quad C<0,\quad D>0,\quad E>0,\quad F<0,\quad G} <0,\ldots ,$

les conditions dont il s’agit auront toujours lieu ; de sorte qu’on devrait dire que toute équation de la forme

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}-\mathrm {B} x^{m-2}+\mathrm {C} x^{m-3}+\mathrm {D} x^{m-4}-\mathrm {E} x^{m-5}-\mathrm {F} x^{m-6}+\ldots =0,$

où $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont des quantités positives quelconques, n’aura jamais de racines imaginaires, ce qui est faux ; et il est remarquable que les équations de cette forme mettent en défaut les règles dont nous avons fait mention plus haut (6).

8. Si l’on transforme l’équation proposée en une autre dont les racines soient des fonctions quelconquesrationnelles des racines de celleslà, ce qu’on peut toujours exécuter par les méthodes connues [voyez les Réflexions sur la Résolution algébrique des équations, Section IV, Mémoires de 1771^[3]], on aura une équation dont toutes les racines seront réelles, si la proposée a toutes ses racines réelles ; par conséquent on pourra appliquer à cette transformée les mêmes conclusions qu’on a trouvées ci-dessus ; ce qui fournira de nouvelles conditions entre les coefficients de l’équation proposée, conditions dont le défaut indiquera nécessairement l’existence de quelques racines imaginaires.

Qu’on cherche, par exemple, une transformée dont les racines soient les sommes de celles de l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,$

prises deux à deux ; on trouvera celle-ci

$x^{\mu }-\alpha x^{\mu -1}+\beta x^{\mu -2}-\gamma x^{\mu -3}+\ldots =0,$

où

$\mu ={\frac {m(m-1)}{2}},$

et

${\begin{aligned}\alpha =&(m-1)\mathrm {A} ,\\\beta =&{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} ^{2}+(m-2)\mathrm {B} ,\\\gamma =&{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3}}\mathrm {A} ^{3}+(m-2)^{2}\mathrm {AB} +(m-4)\mathrm {C} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura, pour la réalité des racines, ces conditions

${\begin{aligned}&\alpha ^{2}-2\beta >0,\\&\beta ^{2}-2\alpha \gamma +2\delta >0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}&\left(m^{2}-1\right)\mathrm {A} ^{2}-2(m-2)\mathrm {B} >0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on cherche une transformée de la même équation dont les racines soient les différences entre les racines de celle-là, et qu’on représente de même cette transformée par

$z^{\mu }-\alpha z^{\mu -1}+\beta z^{\mu -2}-\gamma z^{\mu -3}+\delta z^{\mu -1}-\ldots =0,$

on trouvera

${\begin{aligned}\alpha =&0,\\\beta =&-(m-1)\mathrm {A} ^{2}+2m\mathrm {B} ,\\\gamma =&0,\\\delta =&{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} ^{4}-2m(m-2)\mathrm {A^{2}B} -2(m-3)\mathrm {AC} +2m\mathrm {D} \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(2m+3)(m-2)\mathrm {B} ^{2},\\\varepsilon =&0,\\\ldots &\ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura, pour la réalité des racines, ces conditions

$-\beta >0,\quad \delta >0,\quad -\zeta >0,\ldots ,$

savoir

$\beta <0,\quad \delta >0,\quad \zeta <0,\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}&(m-1)\mathrm {A} ^{2}-2m\mathrm {B} >0,\\&{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} ^{4}-2m(m-2)\mathrm {A^{2}B} -2(m-3)\mathrm {AC} +2m\mathrm {D} \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(2m+3)(m-2)\mathrm {B} ^{2}>0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On voit par là comment on peut s’y prendre pour trouver autant de conditions qu’on voudra entre les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’équation proposée, lesquelles seront absolument nécessaires pour la réalité des racines de cette équation ; on pourra encore multiplier ces conditions par la considération des équations des limites dont nous traiterons ailleurs mais on ne parviendra jamais, par ces moyens seuls, à des conclusions exactes et générales sur le nombre des racines imaginaires. Il est donc nécessaire d’employer dans cette recherche des principes plus directs et qui tiennent de plus près à la nature même et à la forme des racines imaginaires. Voici quelques réflexions sur ce sujet.

9. Il est démontré que toute équation, de quelque degré que ce soit, est toujours décomposable en facteurs réels du premier et du second degré [voyez le Mémoire sur la forme des racines imaginaires des Équations. Mémoires de 1772^[4]] et il est visible que les racines imaginaires ne peuvent venir que des facteurs du second degré, où le dernier terme est plus grand que le carré de la moitié du coefficient du second ; ainsi, pour reconnaître si l’équation

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0$

a des racines imaginaires ou non, il n’y aura qu’à examiner si elle est divisible par un ou plusieurs facteurs tels que $x^{2}-ax+b,$ où l’on ait $b>{\frac {a^{2}}{4}},$ c’est-à-dire où ${\frac {a^{2}}{4}}-b$ soit une quantité négative. On divisera donc la proposée par $x^{2}-ax+b,$ et ayant poussé la division jusqu’à ce que

l’on parvienne à un reste qui ne renferme plus que la première dimension de $x,$ on fera ce reste égal à zéro, en faisant évanouir séparément la partie affectée de $x$ et la partie sans $x\,;$ ce qui donnera deux équations en $a$ et $b,$ lesquelles serviront à déterminer ces deux indéterminées. On fera maintenant

${\frac {a^{2}}{4}}-b=u,$

c’est-à-dire que l’on substituera ${\frac {a^{2}}{4}}-u$ à la place de $b,$ et éliminant $a$ on arrivera à une équation finale en $u,$ dont les racines positives et négatives serviront à reconnaître les racines réelles et imaginaires de la proposée.

10. En effet il est clair, par ce qu’on a dit ci-dessus, que la proposée ne pourra avoir de racines imaginaires qu’autant que la transformée en $u$ aura des racines réelles négatives ; de sorte que, si l’équation proposée n’a aucune racine imaginaire, la transformée ne pourra avoir aucune racine négative, et vice versâ si celle-ci n’a aucune racine négative, celle-là n’en aura aucune imaginaires or comme par la règle connue de Descartes une équation ne peut avoir qu’autant de racines positives, et autant de négatives, qu’elle a de variations ou de successions de signes, il s’ensuit

1^o Que si les termes de la transformée en $u$ sont alternativement positifs et négatifs en sorte qu’elle n’ait aucune succession de signes, la proposée n’aura aucune racine imaginaire ;

2^o Que si la transformée a des successions de signes, la proposée aura nécessairement des racines imaginaires, mais dont le nombre ne pourra être plus grand que le double de celui des successions.

Voilà donc un caractère simple et général auquel on peut reconnaître si une équation a toutes ses racines réelles ou non ; mais lorsqu’on s’est assuré par là que l’équation proposée a nécessairement des racines imaginaires, il reste encore à déterminer le nombre de ces racines ; c’est à quoi on peut parvenir par les considérations suivantes.

11. Comme on suppose que

$x^{2}-ax+b=0$

est un diviseur de l’équation proposée, on aura comme l’on sait

$a=x'+x'',\quad b=x'x''$

(en désignant par $x',x''$ deux quelconques des racines de cette équation), donc

$u={\frac {a^{2}}{4}}-b={\frac {(x'+x'')^{2}}{4}}-x'x''={\frac {(x'-x'')^{2}}{4}}\,;$

ainsi $a$ et $u$ sont des fonctions des mêmes racines $x',x'',$ et de plus ces fonctions sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en y changeant $x'$ en $x''\,;$ d’où il s’ensuit que les quantités $a$ et $u$ doivent être données par des équations du même degré, et que, dès que l’on connaîtra une des valeurs de $u$ par la résolution de l’équation en $u,$ on pourra toujours déterminer par son moyen la valeur correspondante de $a,$ et cela par une équation du premier degré si là valeur de $u$ est une racine inégale, ou par une équation du second, du troisième, … degré si la valeur de $u$ est une racine double, triple, (voyez la démonstration dans la Section IV du Mémoire cité ci-dessus, n^o 8). Donc, puisqu’on a déjà deux équations en $a$ et $b,$ ou bien en $a$ et $u$ (numéro précédent), il n’y aura qu’à substituer dans ces deux équations la valeur de $u$ que l’on aura trouvée, et si cette valeur est une racine inégale, on sera assuré de parvenir, par l’élimination successive des puissances de $a,$ à une équation où $a$ ne se trouvera plus qu’au premier degré, et qui donnera par conséquent une valeur réelle de $a\,;$ si la valeur de $u$ est une racine double on ne pourra parvenir par l’élimination qu’à une équation où $a$ montera au second degré, et si $u$ est une racine triple on ne parviendra qu’à une équation en $a$ du troisième degré, et ainsi de suite ; de sorte que dans ce cas les valeurs correspondantes de $a$ pourront être réelles ou imaginaires.

12. Cela posé, je dis que chaque racine négative et inégale de la transformée en $u$ donnera toujours deux racines imaginaires dans l’équation proposée, et que chaque racine négative et égale de la même transformée donnera toujours autant de paires de racines imaginaires dans la proposée que l’équation en $a$aura déracines réelles ; et il ne pourra y avoir dans la proposée que le nombre des racines imaginaires qui se trouvera déterminé de la sorte.

Car, comme toute équation peut se décomposer en facteurs réels du second degré, il s’ensuit que les racines imaginaires peuvent toujours se combiner deux à deux en sorte qu’il en résulte des facteurs doubles tels que

$x^{2}-ax+b,$

où $a$ et $b$ seront réels, et où $b$ sera $>{\frac {a^{2}}{4}},$ c’est-à-dire des facteurs réels de la forme

$x^{2}-ax+{\frac {a^{2}}{4}}-u,$

où $u$ aura une valeur négative et $a$ une valeur réelle quelconque ; or il est facile de prouver que ces combinaisons ne peuvent se faire que d’une seule manière. En effet considérons quatre racines imaginaires, qui étant combinées deux à deux forment les deux facteurs tout réels

$x^{2}-a'x+{\frac {a'^{2}}{4}}+r',\quad x^{2}-a''x+{\frac {a''^{2}}{4}}+r'',$

$r'$ et $r''$ étant des quantités positives, et supposons s’il est possible que les mêmes quatre racines puissent aussi former ces deux autres facteurs réels

$x^{2}-\alpha 'x+{\frac {\alpha '^{2}}{4}}+\rho ',\quad x^{2}-\alpha ''x+{\frac {\alpha ''^{2}}{4}}+\rho '',$

$\rho '$ et $\rho ''$ étant aussi des quantités positives ; il faudra donc que l’équation

$x^{2}-a'x+{\frac {a'^{2}}{4}}+r'=0$

ait une racine commune avec l’équation

$x^{2}-\alpha 'x+{\frac {\alpha '^{2}}{4}}+\rho '=0\,;$

mais les racines de celle-là sont

${\frac {a'}{2}}\pm {\sqrt {-r'}}$

et les racines de celle-ci sont

${\frac {\alpha '}{2}}\pm {\sqrt {-\rho '}}\,;$

donc comparant les parties réelles avec les réelles, et les imaginaires avec les imaginaires, il faudrait que l’on eût

${\frac {a'}{2}}={\frac {\alpha '}{2}}\quad {\text{et}}\quad \pm {\sqrt {-r'}}=\pm {\sqrt {-\rho '}},$

donc

$a'=\alpha '\quad {\text{et}}\quad r'=\rho '\,;$

de sorte que le facteur $x^{2}-\alpha 'x+{\frac {\alpha '^{2}}{4}}+\rho '$ serait le même que le facteur $x^{2}-a'x+{\frac {a'^{2}}{4}}+r'\,;$ ce qui est contre l’hypothèse. D’où il est facile de conclure qu’une équation quelconque proposée aura nécessairement autant de couples de racines imaginaires qu’il y aura de valeurs négatives de $u$ auxquelles répondront des valeurs réelles de $a.$

13. Ainsi, dès qu’on aura trouvé la transforméeen $u,$ on pourra d’abord juger par les signes mêmes de cette équation si la proposée a toutes ses racines réelles ou non ; ensuite, pour connaître le nombre des racines imaginaires de la proposée dans le cas où elle en doit contenir, il suffira de connaître le nombre des racines négatives de la même transformée ; mais malheureusement on n’a point de méthode, que je sache, pour reconnaître à priori le nombre des racines positives ou négatives d’une équation quelconque, à moins qu’on ne soit assuré d’avance que toutes ses racines sont réelles.

Cependant, si l’on fait attention que le dernier terme de toute équation pris avec son propre signe si le degré de l’équation est pair, ou avec un signe contraire si le degré est impair, est toujours nécessairement positif ou négatif suivant que le nombre des racines négatives est pair ou impair, on pourra reconnaître sur-le-champ par le signe du dernier terme de la transformée en $u$ si le nombre des racines imaginaires de la proposée est multiple de $4,$ ou multiple de $4$ plus $2\,;$ le premier cas aura lieu lorsque le dernier terme de la transformée sera positif ou négatif suivant que le degré sera pair ou impair, et le second cas aura lieu lorsque le dernier terme sera positif ou négatif suivant que le degré de la transformée sera au contraire impair ou pair.

14. Si la transformée dont il s’agit avait des racines nulles, alors il est clair que chaque racine nulle indiquerait une égalité entre deux racines de la proposée ; car, faisant $u=0,$ on aurait le facteur $x^{2}-ax+{\frac {a^{2}}{4}},$ lequel étant supposé $=0$ donne les deux racines égales $x={\frac {a}{2}},\ x={\frac {a}{2}}.$

Ainsi une racine nulle dans la transformée $u$ indiquera deux racines égales dans la proposée ; deux racines nulles dans la transformée indiqueront deux couples de racines égales dans la proposée ; trois racines nulles dans la même transformée indiqueront trois couples de racines égales deux à deux dans la proposée, ou bien trois racines égales entre elles ; et ainsi de suite.

15. La méthode que nous avons proposée ci-dessus pour trouver la transformée dont il s’agit peut se simplifier beaucoup de cette manière puisque $x^{2}-ax+{\frac {a^{2}}{4}}-u$ doit être un diviseur de la proposée, il est clair que $x-{\frac {a}{2}}+{\sqrt {u}}$ et $x-{\frac {a}{2}}-{\sqrt {u}}$ devront être l’un et l’autre en même temps diviseurs de la même équation ; donc il n’y aura qu’à substituer dans cette équation ${\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {u}}$ à la place de $x,$ et faire en sorte que l’équation résultante ait lieu également, soit que le radical ${\sqrt {u}}$ soit pris en $+$ ou en $-\,;$ c’est ce qu’on obtiendra en faisant deux équations séparées, l’une de la partie toute rationnelle, et l’autre de la partie irrationnelle et affectée de ${\sqrt {u}}\,;$ par ce moyen on aura d’abord les deux équations cherchées en $a$ et $u,$ d’où, par l’élimination de $a,$ on tirera la transformée en $u.$

Nous allons en donner quelques exemples, mais pour éviter les fractions nous mettrons $t$ à la place de ${\frac {a}{2}},$ en sorte que le diviseur du second degré soit représenté par

$x^{2}-2tx+t^{2}-u,$

et les deux du premier par

$x-t\pm {\sqrt {u}}.$

16. Soit d’abord l’équation du second degré

$x^{2}-\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0\,;$

dans ce cas on aura sur-le-champ

$t={\frac {\mathrm {A} }{2}},\quad {\text{et}}\quad t^{2}-u=\mathrm {B} \,;$

d’où

$u-\mathrm {{\frac {A^{2}}{4}}+B} =0\,;$

de sorte que les racines de la proposée seront réelles inégales ou égales ou imaginaires suivant que

$\mathrm {{\frac {A^{2}}{4}}-B} >{\text{ ou }}={\text{ ou }}<0.$

17. Soit l’équation générale du troisième degré

$x^{3}-\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x-\mathrm {C} =0\,;$

substituant $t+{\sqrt {u}}$ à la place de $x,$ on aura

$t^{3}+3t^{2}{\sqrt {u}}+3tu+u{\sqrt {u}}-\mathrm {A} \left(t^{2}+2t{\sqrt {u}}+u\right)+\mathrm {B} \left(t+{\sqrt {u}}\right)-\mathrm {C} =0.$

Donc, égalant à zéro séparément les quantités rationnelles et les irrationnelles, on aura ces deux équations

${\begin{aligned}&t^{3}-\mathrm {A} t^{2}+(\mathrm {B} +3u)t-\mathrm {A} u-\mathrm {C} =0,\\&3t^{2}-2\mathrm {A} t+\mathrm {B} +u=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera celle-ci

$2\left(3\mathrm {B-A} ^{2}+12u\right)t+\mathrm {AB} -9\mathrm {C} -8\mathrm {A} u=0\,;$

et de là

$u^{3}-\mathrm {\frac {A^{2}-3B}{2}} u^{2}+\mathrm {\frac {\left(A^{2}-3B\right)^{2}}{16}} u$

$-\mathrm {\frac {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(AB-9C)^{2}}{3.64}} =0.$

En ne considérant que le dernier terme de cette transformée et faisant attention qu’une équation du troisième degré ne peut avoir au plus que deux racines imaginaires, on en conclura d’abord (13 et 14) que les racines de la proposée seront ou toutes trois réelles inégales, ou toutes trois réelles mais deux égales, ou une réelle et deux imaginaires, suivant que l’on aura

$\mathrm {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(AB-9C)^{2}} >{\text{ ou }}={\text{ ou }}<0,$

ce qui s’accorde parfaitement avec ce qu’on a trouvé dans le n^o 4.

On peut remarquer ici qu’à la rigueur les racines de la proposée ne peuvent être toutes réelles qu’en supposant que les termes de la transformée soient alternativement positifs et négatifs (12), ce qui, outre la condition précédente, donne encore celle-ci

$\mathrm {A^{2}-3B} >0\,;$

mais comme, d’un autre côté, on est assuré que la condition de

$\mathrm {4(A^{2}-3B)(B^{2}-3AC)-(AB-9C)^{2}} >0$

suffit pour la réalité des racines, il s’ensuit que, dès que cette dernière condition aura lieu, l’autre aura aussi nécessairement lieu.

Pour le prouver d’une manière directe, on remarquera qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A^{2}-3B=\alpha ,\quad 9C-AB} =\beta ,$

la condition dont il s’agit se réduira à celle-ci

$-{\frac {3\beta ^{2}+4\mathrm {A} \alpha \beta +4\mathrm {B} \alpha ^{2}}{3}}>0\,;$

donc il faudra que l’on ait

$3\beta ^{2}+4\mathrm {A} \alpha \beta +4\mathrm {B} \alpha ^{2}=-k^{2},$

$k^{2}$ étant une quantité quelconque positive ; or si l’on résout cette équation en tirant la valeur de $\beta ,$ on aura

$2\beta +2\mathrm {A} \alpha ={\sqrt {-3k^{2}+4\alpha ^{3}}}\,;$

de sorte qu’il faudra nécessairement que la quantité soit positive ; autrement la valeur de $3\beta +2\mathrm {A} \alpha$ deviendrait imaginaire, ce qui impliquerait contradiction.

18. Passons aux équations du quatrième degré, et supposons, pour plus de simplicité, que le second terme soit évanoui, en sorte que la formule générale de ce degré soit

$x^{4}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0\,;$

mettant $t+{\sqrt {u}}$ à la place de $x,$ et égalant séparément à zéro la partie rationnelle et la partie affectée de ${\sqrt {u}},$ on aura

${\begin{aligned}&t^{4}+(\mathrm {B} +6u)t^{2}-\mathrm {C} t+\mathrm {D} +\mathrm {B} u+u^{2}=0,\\&4t^{3}+(2\mathrm {B} +4u)t-\mathrm {C} =0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire d’abord

$(2\mathrm {B} +20u)t^{2}-3\mathrm {C} t+4\left(\mathrm {D+B} u+u^{2}\right)=0,$

ensuite

$\left[(2\mathrm {B} +4u)(\mathrm {B} +10u)^{2}-8\left(\mathrm {D} +\mathrm {B} u+u^{2}\right)(\mathrm {B} +10u)+9\mathrm {C} ^{2}\right]t$

$-12\mathrm {C} \left(\mathrm {D} +\mathrm {B} u+u^{2}\right)-\mathrm {C} (\mathrm {B} +10u)^{2}=0,$

et enfin

${\begin{aligned}u^{6}&+2\mathrm {B} u^{5}+\mathrm {\frac {11B^{2}+4D}{8}} u^{4}-\mathrm {\frac {-14B^{3}+8BD+13C^{2}}{32}} u^{3}\\&+\mathrm {\frac {17B^{4}+24B^{2}D-112D^{2}+48BC^{2}}{256}} u^{2}\\&-\mathrm {\frac {-2B^{3}-9B^{2}C^{2}-108C^{2}D+96BD^{2}-16B^{3}D}{512}} u\\&+\mathrm {\frac {256D^{3}-128B^{2}D^{2}+144BC^{2}D+16B^{4}D-4B^{3}C^{2}-27C^{4}}{4096}} =0.\end{aligned}}$

Donc

1^o La proposée aura toutes ses racines réelles si les termes de cette transformée en $u$ sont alternativement positifs ou négatifs ; sinon elle aura des racines imaginaires ;

2^o Comme une équation du quatrième degré ne peut avoir que deux ou quatre racines imaginaires, on pourra distinguer ces deux cas par le signe du dernier terme, lequel devra être positif dans le premier et négatif dans le second ;

3^o Si le dernier terme est nul, il y aura dans la proposée deux racines égales ; si l’avant-dernier est aussi nul, il y aura deux couples de racines égales ; et si les trois derniers termes sont nuls à la fois, il y aura nécessairement trois racines égales entre elles, et ainsi de suite.

19. On pourra de même reconnaitre le nombre des racines imaginaires dans les équations du cinquième degré ; car, si la transformée en $u$ a tous ses termes alternativement positifs et négatifs, la proposée aura toutes ses racines réelles ; autrement elle en aura d’imaginaires, et comme alors elle ne pourra avoir que deux ou quatre imaginaires, on pourra distinguer ces deux cas par le signe du dernier terme.

Passé le cinquième degré, on ne pourra plus par ce moyen déterminer précisémentle nombre des racines imaginaires. Car prenant, par exemple, une équation du sixième degré, on reconnaîtra d’abord par les signes de la transformée en $u$ si toutes les racines sont réelles ou non or s’il y en a d’imaginaires, elles pourront être au nombre de deux, ou de quatre, ou de six, et le signe du dernier terme fera connaitre seulement si elles sont au nombre de quatre, ou au nombre de deux, ou six ; de sorte qu’il restera un cas indéterminé. Il faudrait, pour juger si les imaginaires sont au nombre de deux, ou de six, pouvoir reconnaitre si la transformée en $u$ a une seule racine négative, ou bien trois ; mais c’est de quoi on ne saurait venir à bout par aucune méthode connue.

20. On a vu (11) que la quantité $u$ est égale au carré de la demi-différence de deux quelconques des racines de la proposée ; ainsi la transformée en $u$ n’est autre chose que l’équation dont les racines sont les carrés de toutes les demi-différences entre les différentes racines de la proposée. En considérant cette transformée sous ce point de vue, on trouvera aisément, par les principes que nous avons établis ailleurs, que cette équation montera généralement au degré ${\frac {m(m-1)}{2}}$ en prenant $m$ pour le degré de la proposée ; et l’on pourra même calculer directement tous ses termes, sans employer aucune substitution ou élimination.

De plus, on voit clairement la raison pourquoi la proposée ne peut avoir de racines imaginaires qu’autant que la transformée aura de racines réelles négatives. Car, puisqu’il est démontré que chaque couple de racines imaginaires est nécessairement de la forme

$p+q{\sqrt {-1}},\quad p-q{\sqrt {-1}},$

$p$ et $q$ étant des quantités réelles, il s’ensuit que le carré de la demi-différence de ces racines sera $-q^{2}$ et par conséquent nécessairement négatif d’où l’on doit conclure que chaque racine réelle négative de l’équation en $u$ indique nécessairement un couple de racines imaginaires dans la proposée, etc. Sur quoi on peut aussi voir les Mémoires des années 1767 et 1768^[5].

21. D’après les mêmes principes on pourra aussi trouver des transformées telles, que l’équation proposée ne puisse avoir à la fois quatre racines imaginaires, ou six racines imaginaires, ou, etc., à moins que sa transformée n’ait des racines négatives ; ce qui pourrait fournir des critères pour reconnaître si une équation donnée qu’on sait déjà avoir nécessairement des racines imaginaires, mais dont on ignore le nombre, doit au moins en avoir quatre, ou six, ou, etc.

Pour cela je considère que, si l’équation proposée contient quatre racines imaginaires, elles seront de la forme

$p+q{\sqrt {-1}},\quad p-q{\sqrt {-1}},\quad r+s{\sqrt {-1}},\quad r-s{\sqrt {-1}},$

$p,q,r,s$ étant des quantités réelles ; donc la quantité $-(q+s)^{2}$ sera essentiellementréelle et négative tant que ces quatre racines seront à la fois imaginaires. Or nommant ces racines $a,b,c,d,$ on aura

$q{\sqrt {-1}}={\frac {a-b}{2}},\quad s{\sqrt {-1}}={\frac {c-d}{2}}\,;$

donc

$-(q+s)^{2}=\left({\frac {a+c-b-d}{2}}\right)^{2}.$

Si donc on cherche une transformée dont les racines soient les carrés des demi-différences entre la somme de deux racines quelconques et la somme de deux autres racines de la même équation, cette transformée aura la propriété qu’elle n’aura de racines réelles négatives qu’autant que la proposée aura au moins quatre racines imaginaires,.

22. Je remarque maintenant que, comme les quantités $q$ et $s$ peuvent être prises indifféremment avec les signes $+$ ou $-,$ il s’ensuit que $-(q+s)^{2}$ et $-(q-s)^{2}$ seront également deux racines négatives de la transformée dont il s’agit, provenant des quatre racines imaginaires $p\pm q{\sqrt {-1}},\ r\pm s{\sqrt {-1}},$ de la proposée ; et il est facile de se convaincre que ces racines imaginaires ne pourront donner dans la transformée d’autres racines réelles négatives que les deux précédentes.

Ainsi chaque combinaison de deux couples de racines imaginairesdans la proposée donnera toujours dans la transformée deux racines réelles négatives ni plus ni, moins. Par conséquent, si la proposée contient $2n$ racines imaginaires, il en résultera nécessairement dans la transformée un nombre de racines réelles négatives égales à deux fois le nombre des combinaisons de $n$ choses prises deux à deux ; or ce dernier nombre est, comme l’on saint, ${\frac {n(n-1)}{2}}\,;$ donc le nombre des racines réelles négatives sera $n(n-1).$ D’autre part il est manifeste que les racines réelles de la proposée, si elle en a, soit seules soit combinées avec les imaginaires, ne peuvent jamais donner dans la transformée en question que des racines réelles positives, ou des racines imaginaires. Donc on peut conclure, en général, que, quelles que soient les racines de la proposée, la transformée aura toujours nécessairement $n(n-1)$ racines réelles négatives, $2n$ étant le nombre des racines imaginaires de la proposée.

23. Pour trouver la transformée dont il s’agit, on peut s’y prendre de plusieurs manières d’après les méthodes que nous avons données dans nos Recherches sur la résolution algébrique des équations, puisqu’il ne s’agit que de trouver une équation dont les racines soient

$\left({\frac {a+c-b-d}{2}}\right)^{2},$

$a,b,c,d$ étant quatre quelconques des racines de l’équation proposée. Et d’abord on prouvera, par les principes établis dans la Section IV de ces Recherches, que si $m$ est le nombre de toutes les racines de la proposée, c’est-à-dire l’exposant de son degré, la transformée montera, en général, au degré ${\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.2.2}}.$

Car 1^o puisque la fonction $\left({\frac {a+c-b-d}{2}}\right)^{2}$ contient quatre racines, il faut combiner le nombre total $m$ des racines quatre à quatre, ce qui donne $m(m-1)(m-2)(m-3)\,;$ 2^o comme la fonction dont il s’agit ne change pas en échangeant $a$ en $c,$ ou $b$ en $d,$ ou $a+c$ en $b+d,$ et vice versâ, il s’ensuit qu’il y a en tout $2.2.2$ combinaisons qui donnent la même fonction ; par conséquent, en divisant le nombre précédent de toutes les combinaisons possibles par celui des combinaisons qui donnent la même racine dans la transformée, on aura le nombre total des racines différentes de cette équation, et par conséquent l’exposant de son degré.

24. Supposons, par exemple, que l’équation proposée soit du quatrième degré ; on aura ici $m=4\,;$ donc (numéro précédent) le degré de la transformée sera ${\frac {4.3.2.1}{2.2.2}}=3.$ Or, si toutes les racines de la proposée sont imaginaires, on aura $2n=4$ et $n=2\,;$ donc la transformée aura $2.1$ racines réelles négatives (22) ; ainsi dans ce cas toutes les racines de la transformée seront réelles, puisqu’étant du troisième degré elle ne peut avoir deux racines réelles sans que la troisième le soit aussi.

Si la proposée avait toutes ses quatre racines réelles, alors la transformée aurait aussi toutes ses racines réelles, mais positives. Enfin, si la proposée a deux racines imaginaires seulement, la transformée aura aussi nécessairement deux imaginaires.

Pour mieux faire sentir la vérité de ces conclusions, on remarquera que $a,b,c,d$ dénotant les quatre racines de l’équation proposée, celles de la transformée ne pourront être que ces trois-ci

$\left({\frac {a+c-b-d}{2}}\right)^{2},\quad \left({\frac {a+d-b-c}{2}}\right)^{2},\quad \left({\frac {a+b-c-d}{2}}\right)^{2}\,;$

car, de quelque façon qu’on échange entre elles les lettres $a,b,c,d,$ il n’en résultera jamais que ces trois expressions différentes.

Or, si toutes les racines sont imaginaires, on aura

$a=p+q{\sqrt {-1}},\quad b=p-q{\sqrt {-1}},\quad c=r+s{\sqrt {-1}},\quad d=r-s{\sqrt {-1}}\,;$

donc les trois quantités précédentes deviendront

$-(q+s)^{2},\quad -(q-s)^{2},\quad (p+r)^{2}.$

Et, s’il n’y a que deux racines imaginaires, en sorte que

$a=p+q{\sqrt {-1}},\quad b=p-q{\sqrt {-1}},$

alors les trois quantités dont il s’agit seront

$\left({\frac {c-d}{2}}+q{\sqrt {-1}}\right)^{2},\quad \left({\frac {c-d}{2}}-q{\sqrt {-1}}\right)^{2},\quad \left(p-{\frac {c+d}{2}}\right)^{2}.$

Ainsi l’on pourra, par le moyen de la transformée dont il s’agit, juger de l’espèce des racines d’une équation du quatrième degré ; car si elle a des racines imaginaires, la proposée en aura deux imaginaires et deux réelles ; si elle a toutes ses racines réelles, la proposée les aura toutes réelles ou toutes imaginaires, suivant que la transformée aura toutes les racines positives, ou bien deux négatives et une positive, ce qu’on reconnaîtra alors par les signes de cette équation ; ce qui fournira des critères plus simples que ceux que nous avons trouvés plus haut (18).

25. Soit

$x^{4}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{2}+\mathrm {P} x+\mathrm {Q} =0$

l’équation proposée du quatrième degré, dont les racines soient $a,b,c,d\,;$ la transformée dont les racines seront

$(a+c-b-d)^{2},\quad (a+d-b-c)^{2},\quad (a+b-c-d)^{2}$

sera, comme nous l’avons déjà trouvé dans nos Recherches sur la résolution algébrique des équations (32), celle-ci

$t^{3}-\mathrm {\left(3M^{2}-8N\right)} t^{2}+\mathrm {\left(3M^{4}-16M^{2}N+16N^{2}+16MP-64Q\right)} t$

$-\mathrm {\left(M^{3}-4MN+8P\right)} ^{2}=0,$

laquelle, en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {A=3M^{2}-8N} ,\\&\mathrm {B=3M^{4}-16M^{2}N+16N^{2}+16MP-64Q} ,\\&\mathrm {C=\left(M^{3}-4MN+8P\right)^{2}} ,\end{aligned}}$

se réduit à la forme

$t^{3}-\mathrm {A} t^{2}+\mathrm {B} t-\mathrm {C} =0.$

Donc

1^o Par ce qu’on a démontré plus haut relativement aux équations du troisième degré, la proposée aura deux racines imaginaires et deux réelles, ou bien quatre imaginaires ou quatre réelles, suivant que l’on aura

$\mathrm {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(AB-9C)^{2}} <0{\text{ ou }}>0\,;$

2^o Dans le dernier cas, si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont positifs en même temps, la proposée aura toutes ses quatre racines réelles ; mais si l’une des deux quantités $\mathrm {A,B} ,$ ou toutes deux, sont négatives, la proposée aura ses quatre racines imaginaires.

26. Lorsque toutes les racines de la proposée sont réelles, on peut par l’inspection des signes reconnaitre combien il y en a de positives et de négatives ; mais quand il y a des racines imaginaires, on sait que la règle est en défaut ; cependant la transformée ci-dessus fournit encore le moyen de juger du signe des deux racines réelles, dans le cas où les deux autres sont imaginaires.

D’abord il est clair que par le signe du dernier terme $\mathrm {Q}$ de la proposée on peut juger si les deux racines réelles sont de même signe ou de signe différent ; le premier aura lieu lorsque $\mathrm {Q}$ sera $>0,$ et le second lorsque $\mathrm {Q}$ sera $<0.$ Il n’y a donc de difficulté que dans le premier cas, et elle consiste à déterminer si les deux racines sont toutes deux positives ou toutes deux négatives.

Pour cela je remarque que le dernier terme $\mathrm {C}$ de la transformée en $t$ étant le produit des trois racines, on aura, en général,

$\mathrm {\left(M^{3}-4MN+8P\right)} ^{2}=(a+c-b-d)^{2}(a+d-b-c)^{2}(a+b-c-d)^{2},$

et tirant la racine carrée

$\mathrm {M^{3}-4MN+8P} =\pm (a+c-b-d)(a+d-b-c)(a+b-c-d).$

Pour savoir quel signe on doit prendre, je suppose, par exemple, que les trois racines $b,c,d$ soient nulles, auquel cas on aura

$\mathrm {M} =-a,\quad \mathrm {N=0,\quad P=0,\quad Q} =0\,;$

ainsi le premier membre de l’équation précédente deviendra $-a^{3}$ et le second deviendra $\pm a^{3},$ d’où l’on voit qu’il faut prendre le signe inférieur en sorte que l’on aura

$\mathrm {M^{3}-4MN+8P} =-(a+c-b-d)(a+d-b-c)(a+b-c-d)..$

Substituons maintenant à la place de $a$ et $b$ leurs valeurs imaginaires $p+q{\sqrt {-1}},\ p-q{\sqrt {-1}}\,;$ on aura

$a+c-b-d=2q{\sqrt {-1}}+c-d,\quad a+d-b-c=2q{\sqrt {-1}}+d-c,$

$a+b-c-d=2p-c-d\,;$

donc l’équation précédente deviendra

$\mathrm {M^{3}-4MN+8P} =\left[4q^{2}+(c-d)^{2}\right](2p-c-d).$

Or $4q^{2}+(c-d)^{2}$ étant toujours une quantité positive, il s’ensuit que la quantité $2p-c-d$ sera du même signe que $\mathrm {M^{3}-4MN+8P} .$

Cela posé, comme l’équation proposée a pour racines $p+q{\sqrt {-1}},$$p-q{\sqrt {-1}},$ $c$ et $d,$ elle sera donc le produit de ces deux équations ci

$x^{2}-2px+p^{2}+q^{2}=0,\quad x^{2}-(c+d)x+cd=0\,;$

et, puisqu’on suppose que les deux racines réelles $c$ et $d$ sont de même signe, il est clair que $cd$ sera toujours une quantité positive, et que $c+d$ sera une quantité du même signe que chacune de ces deux racines ; de sorte qu’il suffira de déterminer le signe de $c+d.$ Or il est visible que, si $p$ et $c+d$ sont positives en même temps, les signes seront alternatifs dans les deux équations précédentes ; ils le seront par conséquent aussi dans le produit de ces deux équations, c’est-à-dire dans l’équation proposée. Et de même, si $p$ et $c+d$ sont négatives à la fois, les signes seront tous positifs dans les mêmes équations et par conséquent aussi dans le produit de ces équations, c’est-à-dire dans la proposée.

Donc si l’équation proposée n’a pas les signes alternativement positifs et négatifs, ou tous positifs, alors $p$ et $c+d$ seront nécessairement des quantités de signes différents ; donc $-2p$ et $c+d$ seront des quantités de même signe ; donc aussi la somme $-2p+c+d$ sera une quantité du même signe que $c+d\,;$ donc, par ce qu’on a démontré ci-dessus, $c+d$ sera nécessairement du signe opposé à celui de $\mathrm {M^{3}-4MN+8P} \,;$ par conséquent, dans ce cas, chacune des deux racines réelles sera du même signe que la quantité $\mathrm {-M^{3}+4MN-8P} .$

Mais si l’équation proposée avait tous les signes alternatifs, ou tous positifs, alors les deux racines réelles seraient nécessairement positives dans le premier cas, et négatives dans le second ; puisqu’on sait qu’une équation qui a tous les signes alternatifs ne peut avoir de racines réelles négatives, et qu’une équation qui a tous ses signes positifs ne peut avoir de racines réelles positives, et qu’en général une équation quelconque ne peut avoir qu’autant de racines positives qu’elle a de changements de signes, et qu’autant de négatives qu’elle a de permanences de signes.

La règle précédente, pour juger des signes des racines réelles d’une équation du quatrième degré qu’on sait en avoir deux imaginaires, a déjà été donnée par M. Waring dans ses Meditationes algebraicæ, mais sans démonstration ; et comme cette démonstration n’avait encore été donnée par personne, que je sache, j’ai cru que les Géomètres seraient bien aises de la trouver ici.

27. De même que nous avons démontré plus haut que la transformée, qui aurait pour racines les carrés des différences entre la somme de deux racines quelconques de la proposée et la somme de deux autres quelconques de ses racines, ne pourrait avoir de racines réelles négatives qu’autant que la proposée aurait au moins quatre racines imaginaires ; de même prouvera+on que la transformée, dont les racines seraient les carrés des différences entre la somme de trois racines et la somme de trois autres racines de la proposée, ne pourra renfermer de racines réelles négatives qu’autant que la proposée aura au moins six racines imaginaires.

On démontrera de plus, par des principes analogues, que si $m$ est l’exposant du degré de la proposée, celui du degré de la transformée dont il s’agit sera représenté par

${\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)}{2\times 1.2.3\times 1.2.3}}\,;$

et que, si $2n$ est le nombre des racines imaginaires de la proposée, la transformée aura nécessairement un nombre de racines réelles négatives égal à $4{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}.$

28. En général, si l’on considère la transformée dont les racines seraient les carrés des différences entre la somme de $s$ racines de la proposée et la somme de $s$ autres racines, cette transformée montera au degré dont l’exposant sera exprimé par

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-2s+1)}{2.(1.2.3\ldots s)^{2}}},$

et elle aura un nombre de racines réelles négatives égal à

$2^{s-1}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-s+1)}{1.2.3\ldots s}},$

en nommant $m$ l’exposant du degré de la proposée et $2n$ le nombre de ses racines imaginaires.

Lorsque $s$ est $>n,$ alors le nombre des racines réelles négatives de la transformée sera nécessairement nul ; mais elle contiendra toujours nécessairement un nombre de racines réelles positives, de sorte qu’on est assuré que chaque transformée contient toujours des racines réelles.

Nous appellerons, pour plus de simplicité, première transformée, seconde transformée, troisième transformée, etc., celles où le nombre $s$ est l’unité, ou deux, ou trois, etc.

29. Je dis maintenant qu’au moyen de ces différentes transformées on pourra déterminer le nombre des racines réelles de la proposée, pourvu qu’on ait un critère pour reconnaître si une équation, qu’on sait contenir nécessairement des racines réelles, en a de négatives ou non. J’avoue que je ne connais point jusqu’à présent un pareil critère, et que je ne vois pas même comment il serait possible de le trouver ; je crois néanmoins que c’est simplifier beaucoup la recherche du nombre des racines imaginaires que de la réduire à celle de l’existence de quelques racines négatives dans des équations que l’on sait devoir contenir nécessairement des racines réelles.

Voici donc comment on pourra s’y prendre pour déterminer combien il y a de racines imaginaires dans une équation, lorsqu’on sera en état de juger, en général, si une équation, qu’on sait contenir des racines réelles, en a de négatives ou non.

On cherchera d’abord la première transformée de l’équation proposée ; si cette transformée a tous ses termes alternativement positifs et négatifs, on sera assuré que la proposée a toutes ses racines réelles ; sinon on en conclura que la proposée contient nécessairement des racines imaginaires (10, 20).

Dans ce dernier cas, on cherchera encore la seconde transformée de la même équation, laquelle contiendra nécessairement des racines réelles ; et si cette transformée n’a point de racines négatives, on en conclura que la proposée ne peut pas contenir quatre racines imaginaires ; par conséquent elle n’aura que deux racines imaginaires ; mais si la transformée dont il s’agit a des racines négatives, alors la proposée contiendra nécessairement quatre racines imaginaires ou davantage (21).

Pour déterminer dans ce dernier cas le nombre des racines imaginaires, il faudra chercher la troisième transformée de l’équation provosée, et examiner si cette transformée, laquelle aura d’ailleurs nécessairement quelques racines réelles, en contient de négatives ou non. Si elle n’a point de racines négatives, on sera assuré que la proposée ne contient pas six racines imaginaires ; par conséquent les racines imaginaires de l’équation proposée seront au nombre de quatre. Mais si la troisième transformée a des racines négatives, ce sera une marque que la proposée contient au moins six racines imaginaires.

On procédera donc, dans ce dernier cas, à la quatrième transformée, pour juger si le nombre des racines imaginaires de la proposée peut monter à huit ou non, et ainsi de suite.

1. Lu le 2 janvier 1777.
2. L’Auteur sous-entend que les grandeurs proportionnellesdont il s’agit sont disposées de manière à former une suite croissante ou décroissante.$\qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)
3. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 205.
4. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 479.
5. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 539 et 581.