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ÉTUDES SUR LE FROTTEMENT DES LIQUIDES.

3. Passons maintenant au cas particulier qui nous occupe, et supposons que le liquide soit divisé en couches cylindriques infiniment minces, indéformables, tournant d’un mouvement uniforme. Cela nous donne les conditions

$a=0,\quad {\frac {\partial \omega }{\partial z}}=0,\quad w=0,\quad {\frac {\partial \omega }{\partial t}}=0.$

Les équations (3) sont ainsi réduites aux suivantes

(5)

$\rho r\omega ^{2}-{\frac {\partial p}{\partial r}}=0,$

(6)

$r{\frac {d^{2}\omega }{dr^{2}}}+3{\frac {d\omega }{dr}}=0,$

(7)

$\rho g-{\frac {\partial p}{\partial z}}=0,$

et l’équation (4) devient une identité.

Les équations (7) et (5) indiquent les variations de la pression sous l’action de la pesanteur et de la force centrifuge. L’équation (6) exprime la loi suivant laquelle la vitesse angulaire varie d’une couche à l’autre ; elle s’intègre facilement et devient ainsi

(8)

$\omega =\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}.$

Nous déterminerons les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ par les conditions

$\omega =0$ pour $r=\mathrm {R} _{0}$

et

$\omega =\Omega$ pour $r=\mathrm {R} _{1},$

ce qui donne à l’équation (8) la forme

(9)

$\omega =\Omega {\frac {{\frac {1}{\mathrm {R} _{0}^{2}}}-{\frac {1}{r}}}{{\frac {1}{\mathrm {R} _{0}^{2}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}^{2}}}}}.$

équations des formules plus générales données par M. BOUSSINESQ (Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 634).