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FORMULES.
de toutes les racines pour les rendre positives, faisant ensuite la quantité
égale à un carré, et mettant enfin
à la place de
.
31. Prenons à présent les signes inférieurs dans la valeur de
(n.o 28), nous aurons :
![{\displaystyle d={\frac {-2hab-2kab-2hka-2ka^{2})}{h(k-h-2a)}}={\frac {a(k+a)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec861420a807f1a50923be70b4ee579d074930e)
quantité qui, étant mise à la place de
dans l’expression :
![{\displaystyle c={\frac {hd^{2}-hkd-kab\pm (-hd^{2}+hkd+2kad+kab)}{2(hd-ka)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36760835273eb5ce09a89d404bce71c958ca0527)
donnera :
![{\displaystyle c={\frac {k(k+a)}{h}}={\frac {(a-b)(2a-b)}{a+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2206deea0d32a5533620bd6824297c7d83f45464)
et
![{\displaystyle c=-{\frac {b(k-b)}{h}}=-{\frac {b(a-2b)}{a+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e501e459797ce6b2da61abd9ae289d1facf0f6)
L’une ou l’autre de ces valeurs de
, ainsi que la valeur de
, qui n’est autre chose que
, étant substituées à ces lettres dans les équations
du n.o 28, on aura ( après avoir multiplié toutes les racines par
) les deux équations suivantes :
![{\displaystyle x^{3}+3(a^{2}-ab+b^{2})x^{2}+2(a^{2}-ab+b^{2})^{2}x-ab(a^{2}-b^{2})(2a-b)(a-2b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6c5869985d5c7e998418b3d644c01e8c19a236)
et
![{\displaystyle x^{3}+3(a^{2}-ab+b^{2})x^{2}+2(a^{2}-ab+b^{2})^{2}x+ab(a^{2}-b^{2})(2a-b)(a-2b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d96ab79e73daf89992ad380e6b965a920c582f8)
ou
![{\displaystyle \left[x-b(a-2b)\right]\left[x+(a-b)(2a-b)\right]\left[x+2(a+b)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d921b11a87d31103b90743ded4938f8395aa5171)
et
![{\displaystyle \left[x+2(2a-b)\right]\left[x+(a-b)(a-2b)\right]\left[x+b(a+b)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63e1e8d43fc7355af8e6133e9d025e27b9816fb)
dont la résultante commune est :
![{\displaystyle x\left[x+(a^{2}-ab+b^{2})\right]\left[x+2(a^{2}-ab+b^{2})\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825b364f4ebd722e7b97dc993a361f3e4d9e5e09)
et qui, multipliées l’une par l’autre, donnent l’équation du sixième degré ;