» de là
» ou, à cause de et de
» les deux triangles rectangles et sont donc semblables entre eux ; et, par suite, les angles et , sont égaux entre eux.
» Application. Soient deux points donnés de position, et soit une droite qui se meut parallèlement à elle-même dans un même plan passant par ces deux points. Dans chacune des positions de cette droite, soit déterminé, sur elle, le point dont la somme des distances aux points est la plus petite ; le lieu de ce point est une hyperbole équilatère dont est un diamètre transverse, et dont une asymptote est parallèle à .
» Ce point est aussi le point d’incidence des rayons qui, partant de l’un des points , sont réfléchis à l’autre point, par la droite »
La démonstration de M. Encontre, Professeur doyen de la faculté des sciences de l’académie de Montpellier, suppose, outre le premier des deux principes employés par M. Raymond, les deux autres principes que voici ; 1.o la tangente à l’hyperbole, terminée aux asymptotes, a son point de contact à son milieu ; et elle est égale au conjugué du diamètre mené par ce point de contact ; 2.o deux diamètres conjugués quelconques d’une hyperbole équilatérale sont égaux entre eux.
Ces principes posés, soient (fig. 12) le centre d’une hyperbole équilatérale, un diamètre, , des droites joignant un point quelconque de la courbe aux extrémités de ce diamètre, et supposons que ces droites coupent l’une des asymptotes en et . Soit une tangente parallèle à , soient le point de contact de cette tangente et le point où elle coupe l’asymptote ; en menant le diamètre il aura pour conjugué le diamètre parallèle à ou ; ce diamètre sera donc, par la propriété des cordes supplémentaires, parallèle à ; les deux triangles et seront donc semblables ; mais, si l’hyperbole est équilatérale, on a
