Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/14

10

DÉTERMINATION DES ORBITES

(26) $X'=x'+\left\{p'-{\frac {p(p''y-q''x)}{2(p'y-q'x)}}\right\}Z,$

(27) $Y'=y'+\left\{q'-{\frac {q(p''y-q''x)}{2(p'y-q'x)}}\right\}Z,$

si ensuite on substitue dans l’équation (13) les valeurs données par les équations (5, 6, 9, 10), en ayant égard aux équations (19, 21), il viendra

$(py-qx)Z''=(py''-qx'')Z+(pq''-qp'')Z^{2}+2(pq'-qp')ZZ',$

multipliant cette équation par $p'y-q'x$ et éliminant $Z'$ au moyen de l’équation (21), il viendra

$(py-qx)(p'y-q'x)Z=$

$(p'y-q'x)(py''-qx'')Z+\left\{(pq''-qp'')(p'y-q'x)-(pq'-qp')(p''y-q''x)\right\}Z^{2}~;$

équation qui se réduit à

$(py-qx)(p'y-q'x)Z=$

$(p'y-q'x)(py''-qx'')Z+(p'q''-q'p'')(py-qx)Z^{2}~;$

mais, en vertu de l’équation (19), on a

$(p'y-q'x)(py''-qx'')=(py-qx)(p'y''-q'x'')~;$

substituant donc et divisant par $py-qx,$ on aura

(28) $Z''={\frac {Z\left\{(p'y''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}}{(p'y-q'x)}}~;$

d’où on conclura, par les équations (9, 10) et par la formule (25), en ayant toujours égard à l’équation (19),

(29) $X''={\frac {(x+pz)\left\{(p'y''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}}{(p'y-q'x)}},$