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DES SURFACES DU SECOND ORDRE.

$y',z'$ ayant même origine que les premières sont, comme l’on sait

$x=x'\operatorname {Cos} .\alpha +y'\operatorname {Cos} .\alpha '+z'\operatorname {Cos} .\alpha '',$

$y=x'\operatorname {Cos} .\beta +y'\operatorname {Cos} .\beta '+z'\operatorname {Cos} .\beta '',$

$z=x'\operatorname {Cos} .\gamma +y'\operatorname {Cos} .\gamma '+z'\operatorname {Cos} .\gamma ''.$

Nous allons donner à ces formules une forme plus commode pour l’objet que nous avons en vue. Soient les équations des axes des $x',y',z',$ ainsi qu’il suit

${\text{axe des x'}}\left\{{\begin{aligned}x&=az,\\y&=bz~;\\\end{aligned}}\right.{\text{axe des y'}}\left\{{\begin{aligned}x&=a'z,\\y&=b'z~;\\\end{aligned}}\right.{\text{axe des z'}}\left\{{\begin{aligned}x&=a''z,\\y&=b''z~;\\\end{aligned}}\right.$ et soient posées les équations

$h={\frac {1}{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}},\quad h'={\frac {1}{\sqrt {1+a'^{2}+b'^{2}}}},\quad h''={\frac {1}{\sqrt {1+a''^{2}+b''^{2}}}}~;$

nous aurons

${\begin{array}{lll}\operatorname {Cos} .\alpha =ah,&\operatorname {Cos} .\alpha '=a'h',&\operatorname {Cos} .\alpha ''=a''h'',\\\operatorname {Cos} .\beta =bh,&\operatorname {Cos} .\beta '=b'h',&\operatorname {Cos} .\beta ''=b''h'',\\\operatorname {Cos} .\gamma =h,&\operatorname {Cos} .\gamma '=h',&\operatorname {Cos} .\gamma ''=h''~;\\\end{array}}$

et par conséquent

${\begin{aligned}x&=ahx'+a'h'y'+a''h''z',\\y&=\,bhx'+\,b'h'y'+b''h''z',\\z&=\,\ \ hx'+\quad h'y'+\quad h''z'.\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation générale du second degré entre les trois variables $x,y,z,$

$Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'xz+2B''xy+Cx+C'y+C''z+D=0,$

on obtiendra une nouvelle équation du même degré que l’on pourra