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QUESTIONS
§. 5.
En procédant continuellement de cette manière, on parvient à déterminer les différences quatrièmes d’après la connaissance des différences troisièmes, puis les différences cinquièmes, et ainsi de suite.
En général ; soient
termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les
puissances, et les
différences de ces puissances. Qu’on se soit assuré qu’on a l’équation
![{\displaystyle A_{n}^{m}-{\tfrac {n}{1}}A_{n-1}^{m}+{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}A_{n-2}^{m}-\ldots \pm {\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}A_{3}^{m}\mp {\tfrac {n}{1}}A_{2}^{m}\pm A_{1}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5513512f53068a52ab5c37ca5854528fa6491e1)
![{\displaystyle =1\cdot 2\cdot 3\ldots (n-1)(A_{2}-A_{1})^{n-1}\int .P_{m-n+1}\cdot A_{n}\ldots A_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e8aad97e0afd359d69a8d4f6cc15e87e25c41)
j’affirme qu’on a aussi l’équation
![{\displaystyle A_{n+1}^{m}-{\tfrac {n+1}{1}}A_{n}^{m}+{\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{n-1}^{m}-\ldots \mp {\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{3}^{m}\pm {\tfrac {n+1}{1}}A_{2}^{m}\mp A_{1}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29c08eeeeea88ca4084aa65404d10f3b9d564c3)
![{\displaystyle =1\cdot 2\cdot 3\ldots n(A_{2}-A_{1})^{n}\int .P_{m-n}\cdot A_{n+1}\ldots A_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef33bdb65e30912eeda646400b88fcadf4e352c)
En effet, des deux équations supposées vraies pour les termes
on tire
![{\displaystyle A_{n+1}^{m}-{\tfrac {n+1}{1}}A_{n}^{m}+{\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{n-1}^{m}-\ldots \mp {\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{3}^{m}\pm {\tfrac {n+1}{1}}A_{2}^{m}\mp A_{1}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29c08eeeeea88ca4084aa65404d10f3b9d564c3)
![{\displaystyle =1.2.3\ldots (n-1)(A_{2}-A_{1})^{n-1}\left\{\int .P_{m-n+1}\cdot A_{n+1}\cdot A_{1}-\int .P_{m-n+1}\cdot A_{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154abdf0ce3cd28f7963f44a84973efe8abb0d4a)
![{\displaystyle =1.2.3\ldots (n-1)(A_{2}-A_{1})^{n}\int .P_{m-1}\cdot A_{n+1}\ldots A_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8c5cb4f404ffb53e1223631ccf892a6288ac78)
On a donc le théorème général suivant :
Soit une progression arithmétique des termes de laquelle on prend