de , se changent toutes en a ; il est clair qu’alors tous les mots où les autres lettres se trouveront occuper les mêmes rangs respec-
d’où on conclura, sur-le-champ, par la multiplication et la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation produit,
En faisant, dans cette formule, et renversant, dans le second membre, il vient
formule des permutations, démontrée dans le texte.
À l’aide de ces deux formules, il est facile, comme l’on sait, de résoudre cette question : Combien, avec nombres donnés, tous diffèrens les uns des autres, peut-on faire de produits distincts, de facteurs chacun ? Mais M. A. Ollive, ancien élève du lycée de Nismes, est parvenu à résoudre directement cette dernière question par les considérations suivantes qui me paraissent assez simples.
Soient représentés respectivement par
les nombres qui expriment combien, avec nombres donnés, tous différens les uns des autres, on peut faire de produits dont le nombre des facteurs soit exprimé par
on aura évidemment Concevons de plus que tous les produits de facteurs soient déjà formés, et qu’on introduise, tour à tour, dans chacun d’eux, chacun des facteurs qui n’y entrent pas ; on formera ainsi des produits de facteurs dont le nombre sera fois plus grand que celui des produits de facteurs qu’on avait d’abord ; je dis de plus que, par ce procédé, on aura formé fois chacun des produits de facteurs.
Pour prouver cette dernière assertion, il suffit de faire voir qu’un tel produit, composé au hasard, se trouve fois parmi ceux qu’on aura formé : or, c’est là une chose facile ; car soit ce produit
si l’on en ôte successivement chacun de ces facteurs, on formera les produits de facteurs que voici :
