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Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/216

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PUISSANCES

cède, et doit conséquemment, dans le cas présent, devenir diviseur de la formule ci-dessus ; et, comme le même raisonnement est applicable à tout autre groupe de lettres devenues pareilles, on peut établir généralement que, si l’on a lettres pareilles à lettres pareilles à lettres pareilles à , et ainsi de suite, de manière qu’on ait le nombre des divers arrangemens dont ces , lettres seront susceptibles, aura pour expression

c’est là, par exemple, le nombre qui exprime de combien de manières différentes on peut écrire, les uns à côté des autres, les facteurs du monôme

si toutefois on a

III. Ces préliminaires établis, qu’il soit question d’assigner la forme du développement de ou plutôt celle de son terme général ; le moyen le plus naturel de parvenir à ce développement, si l’indétermination tant de que du nombre des termes de la racine ne le rendait impraticable, serait de multiplier le polynôme par lui-même fois. Concevons néanmoins que l’on procède de cette manière ; mais que, pour éviter des rédactions qui ne laisseraient, dans les coefficiens des termes réduits, aucune trace de leur origine, on convienne, dans le cours des multiplications de monome à monome qui doivent conduire au dernier résultat, d’écrire constamment la lettre multiplicateur à la droite du terme multiplicande, tout comme on le ferait si les exposans n’étaient pas d’usage, et qu’en outre on ignorât qu’il est permis, dans une multiplication, d’intervertir à volonté l’ordre des facteurs[1]. Alors, comme on n’exécutera aucune réduction, il est

  1. Je dois la première idée de ce moyen de démonstration à M. Lavernède qui, depuis long-temps, en fait usage pour parvenir à la formule du Binome.