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QUESTIONS
être nul, pour que le volume d’eau réellement évacué soit compris entre ces deux-là ; c’est-à-dire, pour que la fonction
soit comprise entre les fonctions
et
et qu’alors il en sera de même pour toutes les valeurs de
inférieures à celle-là ; on doit donc avoir, rigoureusement en vertu d’un théorème connu[1]
![{\displaystyle -b.{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=vz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feab701b7de531fa1cfc1b97afe86c43621b1ed5)
c’est-à-dire
[2]![{\displaystyle \qquad \mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5b129c7205f4018cb40bb3f25590870b475307)
4. Si l’on fait
d’où
il viendra, en substituant et divisant par
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {v}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54c399a031e111f9bdfde81e4e18867716d6780)
d’où
![{\displaystyle x=T-{\frac {v}{b}}t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b30b0dd974dfe5c1399cf46c5a81167e2ea7099)
étant une constante arbitraire. On aura donc
![{\displaystyle z=e^{T-{\frac {v}{b}}t}\,;\qquad \mathrm {(F)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308b863248aaa1d441d2b5086585387614904096)
au bout du temps
sera donc devenu
![{\displaystyle e^{T-{\frac {v}{b}}(t+i)}=e^{T-{\frac {v}{b}}t}\times e^{-{\frac {v}{b}}i}=z.e^{-{\frac {v}{b}}i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83794f7086f583569292e3e381471c8482db1ad0)
c’est-à-dire
![{\displaystyle z-{\frac {v}{b}}z{\frac {i}{1}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}z{\frac {i^{2}}{1.2}}-\ldots \qquad \mathrm {(G)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dbd44042973305e06f0e542b68facf07ad7904)
- ↑ Voyez le Calcul des dérivations d’Arbogast, note de la préface, page XIV.
Voyez aussi le Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix, deuxième édition, tome 1.er, introduction, page 65.
- ↑ On parvient à ce résultat d’une manière moins rigoureuse, à la vérité, quant au langage, mais beaucoup plus courte, en remarquant que
et
ne sont que deux expressions différentes du volume de liquide évacué durant l’instant
.