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QUESTIONS
![{\displaystyle {\begin{array}{lcrl}\mathrm {d'o{\grave {u}}} &&\mathrm {B\ \ X\ \ } :a'\mathrm {X} '=&\mathrm {AB:B'} a'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &&\mathrm {A''X'':B\,X\ } =&\ \ L\ \,:\mathrm {A\,B\,} ,\\\mathrm {il\ viendra} &&\mathrm {A''X''} :a'\mathrm {X'} =&\ \ L\ \,:\mathrm {B'} a'.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4e1c336959a384134fa34ff1a5a1dbc25eff37)
Soit en outre
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}&\ \ L\ \ :\mathrm {B'\ } a'\ \ =&\mathrm {A''B''} :b'a'\,;\\\mathrm {donc} &\mathrm {A''X''} :a'\ \,\mathrm {X'\ } =&\mathrm {A''B''} :b'a'\,;\\\mathrm {et} &\mathrm {B''X''} :b'\ \,\mathrm {X'\ } =&\mathrm {A''B''} :b'a',\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A'X':B''X''} =&\ \ M\ \ :\mathrm {A''B''} ,\\\mathrm {il\ viendra\ enfin} &\mathrm {A'X'} :b'\ \,\mathrm {X'\ } =&\ \ M\ \ :b'a'.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb472ef2e417753164d964b6033f52b55d602fb)
On connaît donc la somme
et le rapport des droites
et
; donc ces droites sont l’une et l’autre connues.
Troisième exemple. Que les droites données soient au nombre
de quatre. Soient
(fig. 8), quatre
droites données de grandeur, à couper en
de
manière que chacun des quatre rapports
soient égaux à des rapports donnés.
![{\displaystyle {\begin{array}{lrl}\quad \mathrm {Soit\ fait\ } &\mathrm {AX:B'X'} =&\mathrm {AB:B\ } a',\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {BX} :\,a'\mathrm {X'} =&\mathrm {AB:B'} a'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A'''X''':B\ X\ } =&\ \ L\,\ :\mathrm {A\ B\ } ,\\\mathrm {il\ viendra} &\mathrm {A'''X'''} :a'\mathrm {X'} =&\ \ L\,\ :\mathrm {B'} a'.\\\quad \mathrm {Soit\ encore} &\ \ L\ \ :\mathrm {B'} a'=&\mathrm {A'''B'''} :a'b',\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {A'''X'''} :a'\mathrm {X'} =&\mathrm {A'''B'''} :a'b'\,;\\\mathrm {et\ cons{\acute {e}}quemment} &\mathrm {B'''X'''} :b'\mathrm {X'} =&\mathrm {A'''B'''} :a'b'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A''X'':B'''X'''} =&\ \ M\ \,:\mathrm {A'''B'''} ,\\\mathrm {il\ viendra} &\mathrm {A''X''} :b'\mathrm {X'} =&\ \ M\ \,:a'b'.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4f0c3607c07860011c0945b7441ce64736b908)
Partant, on connaît, de grandeur, les droites
et
et les rapports
donc la question proposée
sur quatre droites est ramenée à la question correspondante sur deux
droites. Et, comme cette dernière est susceptible d’indétermination
et d’impossibilité, aussi la question proposée sur quatre droites est
susceptible d’indétermination et d’impossibilité.
On montrera précisément, de la même manière, que la question