I. Soient
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
et
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
les hauteurs de deux triangles semblables ; soient
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f420780d45df37e5de8b542bb7587c19652319)
, les angles des bases de ces triangles ; soient enfin
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
et
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
les hauteurs respectives de leurs centres de gravité au-dessus de ces bases.
étant donnés, le premier de ces deux triangles est absolument déterminé ; son centre de gravité l’est donc aussi ; il en doit donc être de même de la distance
de ce point à la base du triangle ; le rapport de cette distance à sa hauteur doit donc être également déterminé ; et conséquemment on doit avoir, au plus,
![{\displaystyle {\frac {H}{G}}=\phi (\alpha ,\beta ,H)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2697c231f40e37703559261350675ffbdc71b57f)
désignant, une fonction encore inconnue, mais absolument déterminée.
Or, il est impossible que
, qui est une ligne, entre dans le second membre de celle équation, puisqu’alors cette ligne se trouverait être seulement fonction des deux angles
, et du nombre abstrait
On doit donc avoir simplement
![{\displaystyle {\frac {H}{G}}=\phi (\alpha ,\beta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75ba448931d4588773b01a9ec13965f26646772)
on aura donc pareillement, pour l’autre triangle,
![{\displaystyle {\frac {h}{g}}=\phi (\alpha ,\beta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f97e5bd1f4aad426664cc63fc4599268a14e4e)
d’où on conclura
![{\displaystyle {\frac {H}{G}}={\frac {h}{g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2907209940e23ceed5aa98e7548a3aae5664c7d8)
II. Si
et
sont les hauteurs de deux tétraèdres semblable» dont
et
soient les hauteurs respectives des centres de gravité au-dessus des plans de leurs bases ; en désignant par
, deux des angles de ces bases, et par
les angles dièdres que les trois autres faces forment avec elles ; par un raisonnement semblable au précédent on prouvera que, bien que la détermination complète des deux tétraèdres exige que l’on connaisse, outre les cinq angles
leurs hauteurs
et
, on doit néanmoins avoir
![{\displaystyle {\frac {H}{G}}=\sigma (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ),\quad {\frac {h}{g}}=\sigma (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24eea721ddc756ea0774270524b6db17a97bdf1)
et conséquemment
![{\displaystyle {\frac {H}{G}}={\frac {h}{g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2907209940e23ceed5aa98e7548a3aae5664c7d8)