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DU SECOND ORDRE.

$M=-{\frac {f'}{B^{2}}},\quad N=-{\frac {f'}{A^{2}}}\,;$

ce qui donnera, en substituant et chassant les dénominateurs,

$A^{2}y''^{2}+B^{2}x''^{2}=A^{2}B^{2}.$

Si présentement nous portons les valeurs déterminées ci-dessus pour $a$ et $b$ dans celle de $f',$ elle deviendra, toutes réductions faites,

$f'={\frac {ae^{2}+cd^{2}-bde}{b^{2}-4ac}}+f,$

et de là nous conclurons

$A={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[(a+c)-{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right]}}},$

$B={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[(a+c)+{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right]}}},$

Ainsi le centre sera donné par les valeurs de $a$ et $b,$ les grandeurs des axes par celles de $A$ et $B,$ et leurs directions par celle de $\operatorname {Tang} .2\alpha$

Soit, en deuxième lieu, $b^{2}-4ac=0,$ d’où $M=a+c,N=0\,;$ nous supposerons alors, dans l’équation (2)

$f'=an^{2}+bmn+cm^{2}+dn+em+f=0,\quad d'\operatorname {Cos} .\alpha -c'\operatorname {Sin} .\alpha =0\,;$

et la transformée sera

$My''^{2}+(d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha )x''=0.$

Présentement comme nous avons trouvé ci-dessus

$\operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},$

puisqu’on a d’ailleurs

$\operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2\operatorname {Tang} .\alpha }{1-\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }},$

il viendra, en égalant ces deux valeurs

$b\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2(a-c)\operatorname {Tang} .\alpha -b=0,$