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RÉSOLUES.
d’où on conclura
![{\displaystyle C={\frac {2B^{2}}{b^{2}\operatorname {Cot} .\gamma +b'^{2}\operatorname {Cot} .\gamma '+b''^{2}\operatorname {Cot} .\gamma ''+4B}}\;;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2c5b978b6bcd48d87a6646b59dbb03a4090c59)
de cette valeur de
et de celle de
résulte cette relation remarquable
![{\displaystyle {\frac {C}{B}}={\frac {c^{2}\operatorname {Cot} .\beta +c'^{2}\operatorname {Cot} .\beta '+c''^{2}\operatorname {Cot} .\beta ''}{b^{2}\operatorname {Cot} .\gamma +b'^{2}\operatorname {Cot} .\gamma '+b''^{2}\operatorname {Cot} .\gamma ''+4B}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26fe0d84b0599c8fc29d055e73c9858609cefc1)
À l’aide de ce qui précède, on parviendra facilement aux résultats suivants.
I. Soient
les trois côtés d’un triangle donné,
son aire,
des droites auxquelles les rayons des trois cercles inscrits doivent être proportionnels, et
ces rayons ; en posant, pour abréger,
![{\displaystyle Q^{2}=\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}a^{2}\left[\left(\lambda +\lambda '\right)^{2}+\left(\lambda +\lambda ''\right)^{2}-\left(\lambda '+\lambda ''\right)^{2}\right]\\+&{\tfrac {1}{2}}a'^{2}\left[\left(\lambda +\lambda '\right)^{2}+\left(\lambda '+\lambda ''\right)^{2}-\left(\lambda +\lambda ''\right)^{2}\right]+8A{\sqrt {\lambda \lambda '\lambda ''(\lambda +\lambda '+\lambda '')}},\\+&{\tfrac {1}{2}}a''^{2}\left[\left(\lambda +\lambda ''\right)^{2}+\left(\lambda '+\lambda ''\right)^{2}-\left(\lambda +\lambda '\right)^{2}\right]\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b91bbea5c863a92047543512d82965e39399760)
il viendra
![{\displaystyle r={\frac {2\lambda A}{\lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''+Q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98124de1981b47fda54f8d96bcb4784aac7915a6)
![{\displaystyle r'={\frac {2\lambda 'A}{\lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''+Q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63e9a3c87d6ace57ff056700984144e34fb4340)
![{\displaystyle r''={\frac {2\lambda ''A}{\lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''+Q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e4a57aa9418014909984bd17db18ed6df66c20)
II. Si au contraire, les rayons
des trois cercles étant donnés, on demande les côtés
plus grand triangle circonscrit dont les angles soient
en posant, pour abréger,
![{\displaystyle P^{2}=\left\{{\begin{aligned}&(r+r')^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha ''\\+&(r'+r'')^{2}\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''+4\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''{\sqrt {rr'r''(r+r'+r'')}},\\+&(r''+r)^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3f8b6759d78c079f369189cca74857f077e660)
on trouvera
![{\displaystyle a={\frac {r\operatorname {Sin} .\alpha +r'\operatorname {Sin} .\alpha '+r''\operatorname {Sin} .\alpha ''+P}{\operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1ccf16716c456f24a548477f2db531c5eb650e)