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DÉTERMINATION DES ORBITES

Enfin, je considérerai les latitudes comme positives ou comme négatives, suivant qu’elles seront boréales ou australes.

I. Cela posé, soient, pour une époque quelconque $t$, $X,Y,Z,$ les coordonnées d’un astre observé, et $R$ son rayon vecteur ;

$x,y,$ les coordonnées de la terre, et $r$ son rayon vecteur ;

$\alpha$ sa longitude, ou celle du soleil augmentée de deux angles droits ;

$\beta ,\gamma ,$ les longitude et latitude géocentriques de l’astre.

Il est aisé de voir qu’on aura

$X=r\operatorname {Cos} .\alpha +Z\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cot} .\gamma ,$

$Y=r\operatorname {Sin} .\alpha +Z\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cot} .\gamma \,;$

on aura d’ailleurs

(1)$\qquad x=r\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad (2)\qquad y=r\operatorname {Sin} .\alpha \,;$

posant donc, en outre,

$\qquad p=\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cot} .\gamma ,\qquad q=\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cot} .\gamma ,$

ou, ce qui revient au même,

(3)$\qquad p\operatorname {Sin} .\gamma =\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma ,\qquad (4)\qquad q\operatorname {Sin} .\gamma =\beta \operatorname {Cos} .\gamma ,$

les deux équations ci-dessus deviendront

(5)$\qquad X=x+pZ,$

(6)$\qquad Y=y+qZ.$

II. Soit considéré le temps comme variable indépendante, et soient adoptées, pour plus de simplicité, les notations de M. Lagrange. En différentiant trois fois chacune des deux équations (5, 6), il viendra

${\begin{array}{rll}(7)&X'&=x'+p'Z+pZ',\\(8)&Y'&=y'+q'Z+qZ';\\(9)&X''&=x''+p''Z+2p'Z'+pZ'',\\(10)&Y''&=y''+q''Z+2q'Z'+qZ'',\\(11)&X'''&=x'''+p'''Z+3p''Z'+3p'Z''+pZ''',\\(12)&Y'''&=y'''+q'''Z+3q''Z'+3q'Z''+qZ'''.\\\end{array}}$