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LIGNES ET SURFACES

gulaires, on aura $\operatorname {Cos} .\gamma =0,\ \operatorname {Sin} .\gamma =1\,;$ et il viendra conséquemment

$\left(AB-C^{2}\right)r^{4}-D(A+B)r^{2}+D^{2}=0,$

$p=-{\frac {Cr^{2}}{Br^{2}-D}},$

l’équation (1) appartiendra à l’ellipse, si l’on a

$AB-C^{2}>0\quad$et$\quad D(A+B)>0\,;$

à l’hyperbole, si l’on a

$AB-C^{2}<0\,;$

et elle n’exprimera rien, si l’on a

$AB-C^{2}>0\quad$et$\quad D(A+B)<0.$

En particulier, elle appartiendra au cercle, si l’on a, à la fois,

$A=B\quad$et$\quad C=0.$

Tout cela s’accorde avec les principes connus.

Supposons que les axes des coordonnées soient deux diamètres conjugués de la courbe ; alors on devra avoir $C=0.$ L’équation (1) deviendra

$Ax^{2}+By^{2}=D\,;$

en sorte que les quarrés des demi-diamètres conjugués seront

${\frac {D}{A}},\qquad {\frac {D}{B}}\,;$

la somme des quarrés de ces demi-diamètres sera donc

${\frac {D}{A}}+{\frac {D}{B}}={\frac {D(A+B)}{AB}}\,;$

et le produit de leurs quarrés et du quarré du sinus de l’angle qu’ils comprennent ou, ce qui revient au même, le quarré de l’aire du parallélogramme construit sur leurs grandeurs et directions, sera

${\frac {D^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{AB}}$

Mais, dans la même hypothèse de $C=0,$ l’équation (4) devient

$r^{4}-D.{\frac {A+B}{AB}}r^{2}+{\frac {D^{2}}{AB}}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =0\,;$