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ET MINIMA.

$V_{3}=\left[\left(D\xi _{4}+\ldots \right)^{2}+V_{4}\right]:\left\{\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\left(C_{1,1}C_{3,3}-C_{2,3}^{2}\right)-\right.\right.$

$\left.\left(C_{1,1}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3}\right)^{2}\right]\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\left(C_{1,1}C_{4,4}-C_{1,4}^{2}\right)-\left(C_{1,1}C_{2,4}-C_{1,2}C_{1,4}\right)^{2}\right]$

$-\left\{\left[\left(C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\right)\left(C_{1,1}C_{3,4}-C_{1,3}C_{1,4}\right)-\left(C_{1,1}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3}\right)\left(C_{1,1}C_{2,4}-C_{1,2}C_{1,4}\right)\right]^{2}\right\},$ ^[1]

$V_{4}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Les coefficiens des accroissemens $\xi _{3},\xi _{4},\ldots ,$ dans $V_{3},V_{4},\ldots ,$ finissent par devenir très-compliqués ; mais, comme ils sont tous très-symétriques, il est aisé d’en assigner la loi, et de les représenter par des symboles indiquant leur génération et pouvant servir à calculer leurs valeurs. En représentant le coefficient de $\xi _{2},$ dans $V_{1},$ par $\alpha _{2,2},$ ceux de $\xi _{3},\xi _{4},\ldots ,\xi _{n}$ deviennent $\alpha _{2,3},\alpha _{2,4},\ldots \alpha _{2,n},$ et se déduisent d’une manière très-simple de $\alpha _{2,2}=C_{1,1}C_{2,2}-C_{1,2}^{2}\,;$ il suffit, pour cela, de changer le 2, après la virgule en 3, 4,… n, et de ne faire ce changement dans le second terme $C_{1,2}^{2}$ que pour un de ses facteurs ; de sorte qu’on aura $\alpha _{2,3}=C_{1,1}C_{2,3}-C_{1,2}C_{1,3},$ $\alpha _{2,4}=C_{1,1}C_{2,4}-C_{1,2}C_{1,4},\ldots \alpha _{2,n}=C_{1,1}C_{2,n}-C_{1,2}C_{1,n}.$ On obtient ainsi

$V_{1}={\frac {1}{\alpha _{2,2}}}\left[\left(\alpha _{2,2}\xi _{2}+\alpha _{2,3}\xi _{3}+\alpha _{2,4}\xi _{4}+\ldots +\alpha _{2,n}\xi _{n}+\right)^{2}+V_{2}\right].$

Au moyen de cette notation, $V_{2}$ devient

$V_{2}={\tfrac {\left[\left(\alpha _{2,2}\alpha _{3,3}-\alpha _{2,3}^{2}\right)\xi _{3}+\left(\alpha _{2,2}\alpha _{3,4}-\alpha _{2,3}\alpha _{2,4}\right)\xi _{4}+\ldots \left(\alpha _{2,2}\alpha _{3,n}-\alpha _{2,3}\alpha _{2,n}\right)\xi _{n}\right]^{2}+V_{3}}{\alpha _{2,2}\alpha _{3,3}-\alpha _{2,3}^{2}}}\,;$

c’est-à-dire, de la même forme que $V_{1}$ exprimé en $C.$ On pourra donc représenter les coefficiens de cette formule par $\beta _{3,3},\beta _{3,4},\beta _{3,5},\ldots \beta _{3,n},$ et ces quantités se déduiront de $\beta _{3,3}$ comme $\alpha _{2,3},\alpha _{2,4},\alpha _{2,5},\ldots \alpha _{2,n},$ se déduisent de $\alpha _{2,2},$ de sorte qu’on aura

1. La lettre $D$ est employée ici, par abréviation, pour représenter le dénominateur de la valeur de $V_{3}$ ; c’est-à-dire, la quantité qui suit le signe (:) dans cette valeur.