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DES ÉCHELLES.

variable, nous ne répéterons pas ce que nous avons dit plus haut sur ce sujet, et nous passerons de suite aux applications.

24. Soit à intégrer l’équation aux différentielles partielles

(88)\qquad \partial ^{1,}\phi (x,y)=a\partial ^{1,}\phi (x,y)+b\phi (x,y).

En détachant les échelles, on a

(89)\qquad \partial ^{1,}=a\partial ^{1,}+b.

ou bien $\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{1,}=a\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{,1}+b=\operatorname {Log} .\mathrm {E} ^{,a}+\operatorname {Log} .e^{b}=\operatorname {Log} .\left(e^{b}.\mathrm {E} ^{,a}\right)\,;$ donc $\mathrm {E} ^{1,}=e^{b}.\mathrm {E} ^{,a},$ et par conséquent $\mathrm {E} ^{k,}=e^{bk}.\mathrm {E} ^{,ak},$ et ensuite $1=e^{bk}.\mathrm {E} ^{-k,}.\mathrm {E} ^{,ak}$ $=e^{bk}.\mathrm {E} ^{-k,ak}.$ En multipliant par la fonction détachée $\phi (x,y)$ , on trouve

\phi (x,y)=e^{bk}.\mathrm {E} ^{-k,ak}.\phi (x,y)=e^{bk}.\phi (x-k,y+ak).

Si l’on a $x=k,$ cette expression devient

\phi (k,y)=e^{bk}.\phi (0,y+ak)=e^{bk}.{\mathcal {f}}(y+ak)\,;

où ${\mathcal {f}}$ désigne une fonction arbitraire ; on a donc, en général

(90)\qquad \phi (x,y)=e^{bk}.{\mathcal {f}}(y+ak).

Si l’on avait résolu l’équation aux échelles, par rapport à $\mathrm {E} ^{,1},$ au lieu de la résoudre par rapport à $\mathrm {E} ^{1,},$ on aurait trouvé pour intégrale

\phi (x,y)=e^{-{\frac {by}{a}}}.{\mathcal {f}}(x+{\frac {y}{a}})\,;

mais il est évident que cette intégrale ne diffère qu’en apparence de (90).

25. Soit à intégrer, en second lieu, l’équation aux différences, partielles

(91)\qquad \phi (x,y)=a\phi (x,y+\nu )+b\phi (x,y).

ou

\mathrm {E} ^{\xi ,}.\phi (x,y)=a\mathrm {E} ^{,\nu }.\phi (x,y)+b\phi (x,y)\,;

l’équation aux échelles sera

(92)\qquad \mathrm {E} ^{\xi ,}=a\mathrm {E} ^{,\nu }+b,

d’où on tire $\mathrm {E} ^{k,}=\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }},$ et par conséquent $1=\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{-k}\,;$ donc en multipliant par la fonction,

\phi (x,y)=\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }}.\mathrm {E} ^{-k}\phi (x,y)=\left(a\mathrm {E} ^{,\nu }+b\right)^{\frac {k}{\xi }}.\phi (x-k,y)