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DES SPHÉROÏDES.

$(A)\ T=\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.2^{2}X'^{2}$

$+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {9}{2}}}.2^{4}X'^{4}+\ldots$

3. Cela posé, cherchons une formule propre à donner la valeur de l’intégrale

$\int \int \int .x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z=P,$

étendue à la masse entière de l’ellipsoïde.

En intégrant d’abord, depuis $x=-x'$ jusqu’à $x=+x',$ il viendra

$P=-{\frac {2}{2m+1}}\int \int .x'^{2m+1}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} x\operatorname {d} y.$

Les valeurs de $x',y,z,$ qui entrent dans cette intégrale, doivent être considérées comme appartenant à la surface de l’ellipsoïde ; en conséquence, elles sont liées entre elles par l’équation

${\frac {x'^{2}}{k^{2}}}+{\frac {y^{2}}{k'^{2}}}+{\frac {z^{2}}{k''^{2}}}=1\,;$

$k,k',k''$ désignant les demi-diamètres principaux de l’ellipsoïde. Il est évident que l’on rend cette équation identique, en posant

$x'=k\operatorname {Sin} .\theta \,;\quad y=k'\operatorname {Cos} .\theta \operatorname {Sin} .\phi \,;\quad z=k''\operatorname {Cos} .\theta \operatorname {Cos} .\phi .$^[1]

L’on pourra donc introduire les variables $\theta$ et $\phi$ à la place des variables $y$ et $z,$ en prenant, conformément au principe connu,

$\operatorname {d} y\operatorname {d} z=-k'k''\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Cos} .\theta .\operatorname {d} \phi \operatorname {d} \theta \,;$^[2]

d’où résulte, en substituant

$P={\frac {2}{2m+1}}k^{2m+1}.k'^{2n+1}.k''^{2l+1}$

$.\int \int \operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}.\operatorname {Sin} .\phi ^{2n}.\operatorname {Cos} .\phi ^{2l}.\operatorname {d} \theta \operatorname {d} \phi .$

Pour peu que l’on examine maintenant la forme des expressions des variables$x',y,z,$ en $\theta$ et $\phi ,$ l’on comprendra sans peine qu’en intégrant, d’abord depuis $\phi =0$ jusqu’à $\phi =200^{\circ },$ et ensuite

1. C’est principalement sur cette transformation que repose le beau travail de M. Yvory.
2. Voyez le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de M. Lacroix, tome II, page 203, n.^o 528.