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ATTRACTION DES SPHÉROÏDES.
Il suit de là que l’équation
![{\displaystyle B\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q}+B'\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{p'}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{q'}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f08eb33338538a25f4b1abf2f3935e0ae13ec7)
![{\displaystyle =Ak^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}+A'k^{2m'}.k'^{2n'}.k''^{2l'}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeabcb229b5e37bdb81c65093d902b73a183fe46)
doit être identiquement vraie. Cette identité ne cesse pas de subsister,
en faisant
dans les deux membres de l’équation ; ainsi, l’on aura
![{\displaystyle (C)\ Bk'^{2p}.k''^{2q}+B'k'^{2p'}.k''^{2q'}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952e6c06cf9004571a6be9092d147ec15fe4519a)
![{\displaystyle =A_{I}k'^{2\alpha }.k''^{2\beta }+A_{II}k'^{2\alpha '}.k''^{2\beta '}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8c9da01c222637e01ed4d6f420141e0aabbe9f)
en nommant
les coefficiens des termes qui,
dans le second membre de l’équation précédente, sont indépendans
de
La formule (B) nous fait voir que, pour obtenir les termes
qui, dans la valeur de
sont indépendans de
il suffit de poser
dans la valeur de
donnée par la série (A). Il est évident
que, par ce moyen, cette série revient à celle que l’on obtiendrait, en développant le radical
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}-2by-2cz+y^{2}+z^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd232d177da99e6af9ca457adb411ec7f30d9d30)
suivant les puissances de
et
en conservant seulement les termes
de la forme
L’intégrale d’un tel terme est, en vertu de la formule (B),
![{\displaystyle {\frac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+3)}}MHk'^{2m}.k''^{2n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf15b4d48b423fa9c0c7e627547941e912438f1)
et, d’après l’équation (C), si l’on change, dans ce résultat,
et
respectivement en
et
la fonction
![{\displaystyle {\frac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+3).}}.MH.\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{m}\left(k''^{2}-k^{2}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f53de7e043432c8aad4efd35845aced72fa3a8)