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FACULTÉS
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .\varpi y}{\varpi y}}=1-{\frac {\varpi ^{2}y^{2}}{1.2.3}}+{\frac {\varpi ^{4}y^{4}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {\varpi ^{6}y^{6}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a627af1b84a168ce4f5440a5ba62c08b643f57c)
on a alors
![{\displaystyle a'=1,\qquad b'=-{\frac {1}{1}},\qquad c'=+{\frac {1}{1.4}},\qquad d'=-{\frac {1}{1.4.9}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabb1a0c76d1d0076a840515f37ea79355b61fb1)
et il en résulte
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .\varpi y}{\varpi y}}=1-{\frac {y^{2}}{1}}+{\frac {y^{2}}{1}}.{\frac {y^{2}-1}{4}}-{\frac {y^{2}}{1}}.{\frac {y^{2}-1}{4}}.{\frac {y^{2}-4}{9}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1de171de6abf79d9889bf3f1e4f57ce4e2c91a5)
série qui est ce que devient la série générale (6), dans le cas de
; elle sera donc égale au produit infini
![{\displaystyle \left(1-{\frac {y^{2}}{1}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{4}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{9}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{16}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7245d4fee72510871403dde748761b9c3a64ec46)
20. Appliquons encore nos règles générales à la décomposition en facteurs de la série
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\varpi y=1-{\frac {\varpi ^{2}y^{2}}{1.2}}+{\frac {\varpi ^{4}y^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {\varpi ^{6}y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717c2be0d3e8e1072aef0e4cc98e57f18000bd38)
au cas que cette décomposition soit possible. On aura ici
et il en sera de même de toutes les fonctions paires
tandis qu’au contraire les fonctions impaires
seront égales à
On trouvera, d’après cela
![{\displaystyle a'=1,\ b'=-{\tfrac {2}{1}},\ c'=+{\tfrac {4}{1.2.1.3}},\ d'=-{\tfrac {8}{1.2.3.1.3.5}},\ e'=+{\tfrac {16}{1.2.3.4.1.3.5.7}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13d99e968bcec864c5f5915b0fb73f365cb3a9d)
Comparant ces valeurs (6) aux coefficiens
![{\displaystyle 1,\quad {\frac {1}{h}},\quad {\frac {1}{1.2h(h+1)}},\quad {\frac {1}{1.2.3h(h+1)(h+2)}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9066b36490e2757c3528b30605bc731d30013b52)
on verra qu’elles coïncident, dans la supposition de
La série proposée sera donc égale au produit infini
![{\displaystyle \left(1-{\frac {4y^{2}}{1}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{9}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{25}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{49}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5addcd3b2aaef4f1e288f7411fd068813ca3e4a1)
20. La dernière application que nous venons de faire de notre méthode laisse suffisamment apercevoir le caractère distinctif des séries de la forme