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ET SURFACES LIMITES.
point
, la courbe
, exprimée par l’équation (III), tendra
continuellement à devenir une courbe
coupant
ou
en
; on aura donc l’équation de
, en faisant
dans l’équation
(III), ce qui la réduit simplement à
Ainsi le point
de
, qui répond à la valeur
de la constante, sera donné par le
système des deux équations
![{\displaystyle V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e993ef76afda8efe29cef4da8adce073a5300dab)
si donc on élimine
entre elles, l’équation résultante, en
et
devant être satisfaite par les coordonnées des points
qui répondent aux diverses valeurs
de la constante,
sera l’équation de la courbe
qui les contient tous, c’est-à-dire,
de la courbe cherchée.
Si l’équation proposée était
![{\displaystyle \phi (x,y,A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=V=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94eb5ba36de72abe6ca021b5644aa975b3cd827c)
les constantes
étant liées par les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {f_{1}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{1}=0,\\&\mathrm {f_{2}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{2}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {f_{n-1}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{n-1}=0\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb85f45ff8f10f29b6e7f64a3df6636edaa5464)
on pourrait, à l’aide de ces équations, éliminer de
toutes les
constantes, excepté une seule, ce qui ramènerait la question au
cas précédent.
On pourrait aussi considérer toutes les constantes comme des fonctions de l’une d’elles,
par exemple ; alors en différentiant
sous ce point de vue, et éliminant
![{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots A_{n},\ {\frac {\mathrm {d} A_{2}}{\mathrm {d} A_{1}}},\ {\frac {\mathrm {d} A_{3}}{\mathrm {d} A_{1}}},\ldots {\frac {\mathrm {d} A_{4}}{\mathrm {d} A_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ced892f2e0ffa0b10717a416ea86ea4ba9e881c)
entre les équations