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RÉSOLUES.
et
les quantités d’eau correspondantes qui se trouvent
dans le vase
Par l’opération qui fait passer les quantités d’eau des deux vases
de
et
à
et
on extrait, savoir :
de
une quantité d’eau exprimée par ![{\displaystyle {\frac {c}{a}}X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc793870b72f611b07bc0284e23364f99455b0b)
de B une quantité d’eau exprimée par ![{\displaystyle {\frac {c}{b}}Y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16262092ee43beef4d6f62a50ff83274909462a)
on aura donc
![{\displaystyle X'=X-{\frac {c}{a}}X+{\frac {c}{b}}Y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5023fa630ea678377036f232d9365d6443ddfd)
et on aura pareillement
![{\displaystyle X''=X'-{\frac {c}{a}}X'+{\frac {c}{b}}Y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cc9f212e3410010815e95e382de0a1e4168b01)
on a d’ailleurs
![{\displaystyle X+Y=X'+Y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a49170861c9f42fd1f15c59c4f2f0529be8444)
éliminant donc
et
entre ces trois équations, il viendra
![{\displaystyle X''=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X'-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ad8a6f2f30cd6828b68e03024fc9a6d9b16044)
partant, les quantités d’eau successives contenues dans le premier
vase forment une suite récurrente du second ordre, dont l’échelle
de relation est
![{\displaystyle +\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right),\qquad -\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f049189412732a6089010e4eef012dff2ce50d)
cette suite récurrente provient donc du développement d’une fraction
dont le dénominateur est
![{\displaystyle 1-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aac8bae510b01d603fec789936fe442c197fbf)
c’est-à-dire,