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NUMÉRIQUES.

$(m-n)!=1^{m-n|1}={\frac {1^{m}|1}{m^{n|-1}}}={\frac {m!}{m^{n|-1}}}\;;$^[1]

d’où l’on voit que la détermination des facultés $(m\pm n)!$ ne dépend que de celle de $m!$ et des facultés $(m+1)^{n|1}$ et $m^{n|-1}$, à exposans entiers. L’application aux cas particuliers donne, en supposant toujours $m$ moindre que l’unité,

$(1+m)!=(1+m)m!,\ \ \quad \qquad \qquad \qquad (-1+m)!=+{\tfrac {m!}{m}},$

$(2+m)!=(1+m)(2+m)m!,\qquad \qquad \ (-2+m)!=-{\tfrac {m!}{m(1-m)}},$

$(3+m)!=(1+m)(2+m)(3+m)m!,\quad (-3+m)!=+{\tfrac {m!}{m(1-m)(2-m)}},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

4. Frappé de ces idées, M. Bessel, professeur d’astronomie à Königsberg, a construit une table des logarithmes briggiens des fractions

${\frac {1^{x-1|1}}{\sqrt {2\varpi }}},$

depuis $x=1$ jusqu’à $x=2,$ à dix décimales, avec leurs premières, deuxièmes et troisièmes différences, qu’il a bien voulu me communiquer, par une lettre du 7 mars de la présente année 1812. Ajoutant aux logarithmes de la table de M. Bessel celui de ${\sqrt {2\varpi }},$ qui est

$0,39908\ 99342,$

on aura les logarithmes des produits $y!,$ entre $y=0$ et $y=1.$ Ces produits sont égaux à l’unité, pour $y=0$ et $y=-1.$ Ils parviennent à leur minimum vers $y=0,46$ ; on a alors à peu près $y!=0,885604.$ Pour calculer ces logarithmes, l’auteur a employé une méthode particulière, différente de la mienne, sur laquelle nous reviendrons plus loin.

Il est presque superflu d’avertir que tous les logarithmes de la table ont une dixaine de trop à leur caractéristique.^[2]

1. Voyez la précédente note.
2. Il paraît, par la marche des quatrièmes différences, qu’on ne peut guère compter sur le 10.^e chiffre décimal des logarithmes de cette table.
   J. D. G.