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CONSTRUCTION GÉOMETRIQUE.
d’où
![{\displaystyle \qquad \qquad {\overline {\mathrm {AN} }}^{2}=-(2\operatorname {Sin} .a)^{2}\left(\operatorname {Cos} .2a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2a\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127616aa06ae185dfe1d5ff0ab6d11eea0f46b00)
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {AN} }}^{3}=-{\sqrt {-1}}(2\operatorname {Sin} .a)^{3}\left(\operatorname {Cos} .3a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .3a\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ec28eec02488f247fb4be97ee10546dd7b942c)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c841bc3ce3ff30dfd7af5bc3b673db73d0414132)
En substituant ces valeurs dans la série (D) et séparant, il vient
![{\displaystyle 2a=+{\frac {2\operatorname {Sin} .a}{1}}\operatorname {Cos} .a+{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{2}}{2}}\operatorname {Sin} .2a-{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{3}}{3}}\operatorname {Sin} .3a-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c4ff07c29bf35b64e1a9849cb0e3720c1fb3ae)
![{\displaystyle 0=-{\frac {2\operatorname {Sin} .a}{1}}\operatorname {Sin} .a+{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{2}}{2}}\operatorname {Cos} .2a+{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{3}}{3}}\operatorname {Sin} .3a-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a375fb8e1f947f2d4b62c8908788966b9b248b8)
9. Nous bornerons ici ces applications. On peut, ainsi que nous l’avons fait dans notre Essai, obtenir, d’une manière analogue, les principaux théorèmes de la trigonométrie, comme les développemens de ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .na,\operatorname {Cos} .na,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31ce22c5172c9d5a677cb8d9cc420c161ba39c9)
![{\displaystyle (\operatorname {Sin} .a)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907c12e490755147cdb162378df659ee779bc897)
les sommes de séries ![{\displaystyle \operatorname {Sin} .a+\operatorname {Sin} .(a+b)+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87bb1e4e687a7811cf48f66a6715c4bfdede635)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(a+2b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c397abed52d38cbc27509542a26be8859795e558)
![{\displaystyle +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56288ae9c16590e34031e2cff21a909897c6d530)
et la décomposition de
en facteurs du second degré.
Comme application à l’algèbre, nous démontrerons que tout polynôme
![{\displaystyle x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\ldots +fx+g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd50bc6a61cd89724615f22c97dd46b5a483b15)
est décomposable en facteurs du premier degré ou, ce qui revient au même, qu’on peut toujours trouver une quantité qui, prise pour
rende égal à zéro le polynôme proposé que nous désignerons par
Les lettres
n’étant point d’ailleurs restreintes ici à n’exprimer que des nombres réels.
Soient
les valeurs de
résultant des suppositions
et
étant des nombres pris à volonté et
désignant un rayon en direction ; on aura
![{\displaystyle y_{p}=p^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+\ldots fp+g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2888d6a35ad5853bc11985fc8e00615c64ab10)
![{\displaystyle y_{p+\rho i}=(p+\rho i)^{n}+a(p+\rho i)^{n-1}+b(p+\rho i)^{n-2}+\ldots +f(p+\rho i)+g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5979b76022b61e105f0934b6330d5b9c3293f62)
![{\displaystyle =y_{p}+i\rho Q+i^{2}\rho ^{2}R+i^{2}\rho ^{2}R+i^{3}\rho ^{3}S+\ldots +i^{n}\rho ^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a750ec5dc0f80b8363430ddb013a442aeb7708)
étant des quantités connues, dépendantes de ![{\displaystyle p,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3354db701901090c71fb6e24b3925afd6c5844f)