coure ensuite un nombre impair, ce qui doit nécessairement la
changer (7).
9. Donc, si l’on permute entre elles deux lettres non consécutives, on changera nécessairement l’espèce du nombre des inversions. Soit en effet n le nombre des lettres intermédiaires à ces deux-là ; on pourra d’abord porter la lettre la plus à gauche immédiatement à gauche de l’autre, ce qui lui fera parcourir places ; puis remettre cette dernière à la place de la première ; et, comme elle sera obligée de passer par-dessus celle-ci, elle se trouvera avoir parcouru places. Le nombre total des places parcourues par les deux lettres sera donc et conséquemment (8) l’espèce du nombre des inversions se trouvera changée.
10. Soit écrite successivement la lettre à la gauche et à la droite de la lettre en changeant le signe au changement de place ; on formera ainsi le binôme
Soit introduite successivement, et en allant de gauche à droite, la lettre dans chacun des termes de ce polynôme, en lui faisant parcourir, dans chacun, toutes les places de droite à gauche, et changeant encore de signe à chaque changement de place, on formera ainsi le polynôme
Concevons que l’on en fasse de même successivement pour les lettres suivantes jusqu’à la dernière inclusivement, en suivant toujours exactement l’ordre alphabétique : on parviendra ainsi à un polynôme homogène de dimensions, dont les termes, au nombre de , ne seront évidemment autre chose que la totalité des permutations dont nos lettres sont susceptibles. Je vais prouver que, d’après ce mode de génération, les termes de ce
