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D’ASTRONOMIE.
![{\displaystyle \operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370bbe20ef4c14015c53a01b959c4915cb425ccd)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\right)&={\frac {2\varpi }{p}}.{\frac {(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }},\\\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)&=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a00bddd33e25e4ccf09f7a967d1b173b4bea04)
5. Considérant ici le temps
et l’anomalie vraie
comme les seules variables, on aura l’équation très-connue
![{\displaystyle \operatorname {d} t={\frac {p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {d} \phi }{2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d9ba9aef2558d25a476aa3e6afb4f3eb08191f)
d’où l’on pourrait tirer, sur-le-champ, l’anomalie vraie
moyennant une série ordonnée d’après les sinus des angles multiples de l’anomalie moyenne. Mais, si l’on regarde
comme la seule variable, et le temps
comme exempt de différenciation, on aura d’abord
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b396490b712b821b08557b32a2ebce0b84eb26)
pour le premier de nos rapports différentiels partiels. Faisons ici
on aura
et
Il en résulte
; et tel est le coefficient du second terme de la série.
6. Pour faciliter les différentiations ultérieures, et les développemens qui, dès le troisième terme deviennent assez compliqués, faisons
et
; ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy),\quad {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=\operatorname {Cos} .\lambda ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9423ee4ba2bf78a0c86f6cde27fa26fb54e188)
Remarquons, de plus, que le rapport différentiel
est constamment de la forme
la lettre
désignant une fonction entièrement algébrique, ordonnée selon les puissances ascendantes de
et de
Si l’on désigne par
la différentielle de celle fonction
on aura, après les réductions