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PROBLÈMES
Le premier terme de la série étant ce que devient
dans le cas de
c’est-à-dire, égal à l’unité ; pour trouver
, faisons encore
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x&=\operatorname {Sin} .\lambda ,\\y&=\operatorname {Cos} .\phi \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad {\text{d’où}}\quad \left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} x&=\operatorname {d} \lambda \operatorname {Cos} .\lambda ,\\\operatorname {d} y&=-\operatorname {d} \phi \operatorname {Sin} .\phi \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5bcc2d6560f8c940bcb58b7d92caeec68d3b6d)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=\operatorname {Cos} .\lambda ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy),\quad {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36728d247191c5388043e71bbe0d07e7bb1edc4d)
de plus
![{\displaystyle r={\frac {1-x^{2}}{1-xy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac5a6afb526325547f47a9fc3a3d4b78ee50e7c)
d’où, on conclura, après les réductions, la formule très-simple ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=y\operatorname {Cos} .\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1873fc89798175556dac36880a664b3b990203)
13. Pour effectuer, avec facilité, les différentiations ultérieures, remarquons que le rapport différentiel
aura généralement la forme
la lettre
désignant un polynôme ordonné selon les puissances ascendantes de
et de
et dont la différentielle complète pourra être supposée
Il en résultera, après les réductions, le rapport suivant
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n+1}r}{\operatorname {d} \lambda ^{n+1}}}={\frac {(n-2)zx+P(1-x^{2})+Q(2-xy-2y^{2}+xy^{3})}{\operatorname {Cos} .^{n-2}\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0be7a811deab6b8cb97281f2bc2ded02139d178)
Aidé de cette formule générale, on passera facilement d’un rapport différentiel à l’autre ; les multiplications à faire seront la seule difficulté qu’il faudra surmonter.
Ainsi, ayant eu
on aura d’abord, par la différentiation,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}=2-2xy-2y^{2}+xy^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04fbf4add25c10c1be4c91e5dc5297941539af4)