169
D’ASTRONOMIE.
deux planètes auront été ou seront, à la fois, dans l’une de leurs apsides, il faudra déterminer les deux nombres entiers
et
de manière qu’ils remplissent le plus exactement que possible la condition
![{\displaystyle {\frac {\alpha +m\varpi }{2\varpi }}p={\frac {\beta +n\varpi }{2\varpi }}q,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98cb5369eb2541fd40fb8b12bb2524060244bb1)
ou
![{\displaystyle \quad mp-nq={\frac {\beta q-\alpha p}{\varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013bf62f0fb745eb87d1a9da5247e2e385ae9ed8)
et l’on sent que la solution de cette question ne peut présenter de difficulté.
17. PROBLÈME III. On demande, pour un temps quelconque proposé, la longitude géocentrique d’une planète généralement exprimée par une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des excentricités de l’orbite de la planète et de celle de la terre ?
18. Solution. Supposons que la terre et la planète ayant quitté au même instant leurs aphélies
(fig.1), soient arrivées, au bout du temps
aux points
de leurs orbites respectives.
en désignant par
le foyer commun ou le centre du soleil, et supposant que la ligne des équinoxes soit
, l’angle
sera la longitude géocentrique de la planète. Désignons de plus ;
par
et
les durées des révolutions anomalistiques,
par
et
les demi-grands axes des deux orbites,
par
et
leurs demi-petits axes,
par
et
leurs excentricités,
par
et
les longitudes
des deux aphélies,
par
et
les deux anomalies vraies
, à l’époque
par
et
les deux anomalies de l’excentrique,
par
et
les deux rayons vecteurs
et enfin par
la longitude géocentrique demandée
19. Les deux longitudes héliocentriques seront ainsi les angles
et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {EFP} =\alpha -\phi ,\qquad \mathrm {EFQ} =\beta -\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9085fe5da18ac8b47b5927e4820ddf21a74dc67b)
ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\nu \!\nu ={\frac {s\operatorname {Sin} .(\beta -\psi )-r\operatorname {Sin} .(\alpha -\phi )}{s\operatorname {Cos} .(\beta -\psi )-r\operatorname {Cos} .(\alpha -\phi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5406a4c5ec5c7e1c76b56e9c288293ecff86195a)