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QUESTIONS
pour la différentielle de la somme des angles extérieurs, différentielle que nous représenterons conséquemment par
et de laquelle dépend la solution de notre problème, l’expression suivante
![{\displaystyle \operatorname {d} s={\frac {h.SM\left(\operatorname {d} t\operatorname {d} ^{2}u-\operatorname {d} u\operatorname {d} ^{2}t\right)}{h^{2}\left(\operatorname {d} t^{2}+\operatorname {d} u^{2}\right)+(t\operatorname {d} u-u\operatorname {d} t)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d88d2319fa60a0c92a7e8a3eb4ae26ae8e8354)
7. Si nous désignons, en outre, par
la portion de la surface convexe de ce corps conique ; comprise entre les deux arêtes
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {d} A={\sqrt {h^{2}\left(\operatorname {d} t^{2}+\operatorname {d} u^{2}\right)+(t\operatorname {d} u-u\operatorname {d} t)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbf55b433aae3c4b4b68f5e0b0b6cf4afb5ad5a)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {d} s={\frac {h\operatorname {d} t\operatorname {d} ^{2}u{\sqrt {h+t^{2}+u^{2}}}}{4\operatorname {d} A^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68db4b58869742dc5c9ace2568def148f8d13c88)
L’expression de
est donc beaucoup plus compliquée que celle de
; et, comme cette dernière n’est intégrable que dans un nombre de cas très-borné, desquels celui du cône oblique, à base circulaire, est formellement exclu ; on voit que l’on doit encore moins se flatter d’une solution complète du problème qui concerne la capacité des angles au sommet.
8. À la place des coordonnées rectangulaires
et
essayons de substituer le rayon vecteur
et l’angle
qu’il fait avec l’axe des
ce qui donne
. On trouvera ainsi
![{\displaystyle \operatorname {d} A={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}\operatorname {d} r^{2}+\left(h^{2}+r^{2}\right)r^{2}\operatorname {d} \phi ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3747d7e9af275aa425f04b75bee1d7b20ea865)
et si l’on fait
constant, d’où
on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} s={\frac {2\operatorname {d} r^{2}\operatorname {d} \phi +r^{2}\operatorname {d} \phi ^{3}-r\operatorname {d} ^{2}r\operatorname {d} \phi }{h^{2}\operatorname {d} r^{2}+\left(h^{2}+r^{2}\right)r^{2}\operatorname {d} \phi ^{2}}}.h{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80759145b779dbbbc660c160660cc7edbc853f8f)