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Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/217

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DES ÉQUATIONS


par  ; il suit des premiers principes de cette opération que le reste s’il y en a un, ne renfermera pas et que, le quotient partiel obtenu indépendamment du reste étant designé par P, le quotient total sera de manière qu’on aura

Ces quantités égales, multipliées l’une et l’autre par donneront des produits égaux ; donc

Or, par hypothèse, l’un et l’autre membres de cette équation doivent se réduire à zéro, lorsqu’on y met a pour , ce qui d’ailleurs n’apporte aucun changement à puisque ne renferme pas

Nous aurons donc

ou

c’est-à-dire, que le reste de la division est nul, ou que la division est nécessairement exacte. Cette démonstration est de d’Alembert.[1]

8. Remarque. En exécutant réellement la division par , on trouvera au quotient

quantité qu’on peut mettre sous la forme

  1. Cette démonstration prouve qu’en général, quel que soit le reste de la division du premier membre de l’équation proposée par , n’est autre chose que ce que devient ce premier membre, lorsqu’on y met au lieu de  ; d’où il résulte que ce reste sera ou ne sera pas nul, suivant que ou ne sera pas racine de l’équation.
    J. D. G.