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DES ÉQUATIONS

${\begin{aligned}&+{\sqrt[{m}]{a}}\left({\frac {1}{m}}.{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{m}}.{\frac {m-1}{2m}}.{\frac {2m-1}{3m}}.{\frac {b^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right){\sqrt {-1}}\\&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\end{aligned}}$

$\mathrm {VII} .$ L’on a $\left({\sqrt {-1}}\right)^{4ns\pm 1}=\pm {\sqrt {-1}},$ d’où ${\sqrt[{4n\pm 1}]{\pm {\sqrt {-1}}}}={\sqrt {-1}}$ $=0+{\sqrt {-1}}=A+B{\sqrt {-1}}\,;$ et $\left({\sqrt {-1}}\right)^{4n\pm 2}=-1$, d’où ${\sqrt[{4n\pm 2}]{\sqrt {-1}}}$ $={\sqrt {-1}}=0+{\sqrt {-1}}=A+B{\sqrt {-1}}$ ; donc, en général, ${\sqrt[{m}]{\sqrt {-1}}}$ ou ${\sqrt[{m}]{-1}}=A+B{\sqrt {-1}}.$

$\mathrm {VIII} .$ Soit $a=1\pm p$, on aura

$a^{m}=1\pm {\frac {m}{1}}p+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}p^{2}\pm {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}p^{3}+\ldots$

Soit fait ensuite $m={\sqrt {-1}},$ il viendra

${\begin{aligned}a^{\sqrt {-1}}&=1\pm p{\sqrt {-1}}+p^{2}.{\frac {\sqrt {-1}}{1}}.{\frac {-1+{\sqrt {-1}}}{2}}\pm \ldots \\&=\left(g+h{\sqrt {-1}}\right)+\left(g'+h'{\sqrt {-1}}\right)+\left(g''+h''{\sqrt {-1}}\right)+\ldots \\&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\end{aligned}}$

$\mathrm {IX} .$ De là on conclura aisément

$\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)^{a'+b'{\sqrt {-1}}}=A+B{\sqrt {-1}}.$^[1]

27. LEMME. Dans toute équation

$x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T=0,$ la valeur de l’inconnue est une fonction des coefficiens $A,B,C,\ldots T.$

Démonstration. Une quantité est dite fonction d’une ou de plusieurs autres, lorsque sa valeur dépend de celles qu’on attribue à ces autres quantités ; or, il est évident que la valeur de $x$ dépend, et dépend même uniquement, lorsque $m$ est donnée, de celles des coefficiens $A,B,C,\ldots T.$

28. Remarque. Quoiqu’on sache, d’une manière certaine, que $x$

1. Voy. les pages 20 et 147 de ce volume.
   J. D. G.