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DES ÉQUATIONS

31. THÉORÈME. Toute équation qui n’a pas de racines réelles a autant de racines imaginaires de la forme $a\pm b{\sqrt {-1}}$ qu’il y a d’unités dans le plus haut exposant de l’inconnue.

Démonstration. 1.^o Toute équation qui n’a pas de racines réelles est de degré pair (25).

2.^o Toute équation qui n’a pas de racines réelles en a au moins deux imaginaires, telles que, l’une d’elles étant représentée par $a+b{\sqrt {-1}},$ l’autre peut être représentée par $a-b{\sqrt {-1}}$ (30).

3.^o Le premier membre de l’équation proposée étant divisible par $x-a-b{\sqrt {-1}}$ et par $x-a+b{\sqrt {-1}},$ est nécessairement divisible par le produit de ces deux diviseurs, c’est-à-dire, par $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}\,;$ or, ce produit, étant réel, donnera un quotient réel de la forme $x^{2m-2}+A'x^{2m-3}+B'x^{2m-4}+\ldots$.

4.^o Ce quotient peut être égalé à zéro, ce qui donne une nouvelle équation, laquelle étant exactement dans le cas de la précédente a

$aq+bp=0\qquad$et$\qquad ap-bq=R.$

Présentement on a

$\left(a-b{\sqrt {-1}}\right)\left(p-q{\sqrt {-1}}\right)=(ap-bq)-(aq+bp){\sqrt {-1}}\,;$

ou, en vertu des deux équations ci-dessus

$\left(a-b{\sqrt {-1}}\right)\left(p-q{\sqrt {-1}}\right)=R\,;$

donc $a-b{\sqrt {-1}}$ est diviseur de $R.$

Présentement, pour que $R$ ne fût pas divisible par le produit $\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(a-b{\sqrt {-1}}\right),$ il faudrait que les deux facteurs de ce produit eussent un diviseur commun ; et, comme tout diviseur commun à deux quantités divise aussi leur somme et leur différence, il faudrait que ce diviseur divisât aussi $2a$ et $2b{\sqrt {-1}},$ ce qui ne peut avoir lieu si, comme nous le supposons, $a$ et $b$ sont premier entre eux.

J. D. G.