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DES IMAGINAIRES.

égalant donc ces deux valeurs de $e^{\left(a+b\right){\sqrt {-1}}},$ et séparant le réel de l’imaginaire, on aura

$\operatorname {Cos} .(a+b)=\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b,\quad \operatorname {Sin} .(a+b)=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .a\operatorname {Sin} .b.$

Toutes les autres applications géométriques dérivent de la même source, avec la même facilité. On les trouve développées dans différens ouvrages, et notamment dans la Théorie purement algébrique des quantités imaginaires, par M. Suremain-de-Misséry

(Paris 1801). L’application unique à l’algèbre (pag. 142), laisse, suivant moi, beaucoup à désirer. Ce n’est point assez, ce me semble, de trouver des valeurs de $x$ qui donnent au polynôme des valeurs sans cesse décroissantes ; il faut de plus que la loi des décroissemens amène nécessairement le polynôme à zéro, ou qu’elle soit telle que zéro ne soit pas, si l’on peut s’exprimer ainsi, l’asymptote du polynôme. Je ne dirai rien de l’extension du principe dont s’occupe M. Argand à la fin de son mémoire : d’autant qu’elle est aussi uniquement fondée sur l’analogie ; mais je ne puis pourtant passer sous silence une assertion que je crois inexacte. Selon M. Argand (pag 146), la forme $\left({\sqrt {-1}}\right)^{\sqrt {-1}}$ offre l’exemple le plus simple d’une quantité non réductible à la forme générale $p+q{\sqrt {-1}}.$ Ce géomètre aurait-il donc oublié qu’Euler a démontré que l’expression $\left({\sqrt {-1}}\right)^{\sqrt {-1}}$ n’est point imaginaire, mais égale à $e^{-{\tfrac {1}{2}}\varpi }$ ?^[1]

1. On a, en effet,
   $e^{x{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\quad$d’où$\quad e^{-x}=\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{\sqrt {-1}}$

   qui, en faisant $x={\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ devient