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QUESTIONS
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;&\quad b_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de4aeccefd8cf5ff377b52e722741177338fa5a)
d’où on conclura
![{\displaystyle A-r=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d5a285d5d5cb22d686ea050f974fcc5b6462de)
![{\displaystyle \left.+\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fb6652da996f78ac14e0054d7fa9cd0bb16eac)
![{\displaystyle \lambda ^{n-1}r-B=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450876cde514cb4d3211b1d9ac636f3a2ad57765)
![{\displaystyle \left.+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4591ecd303e1efbb7c457ed8b05875b4280215)
et telles sont les équations qui doivent déterminer les deux inconnues
et
du problème.
Si l’on prend la somme de leurs produits respectifs par
et
cette somme deviendra divisible par
et en observant qu’en général
on aura
![{\displaystyle \lambda ^{n-1}A-B=(\lambda -1)\left\{{\begin{aligned}&A\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-2)\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}\right]\\+&B\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right]\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27ee73a8731a4d71a991de646def7a8b996f535)
équation qui ne renferme plus que la seule inconnue ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Dans le cas de l’anse de panier à cinq centres, en posant, pour abréger
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi =&M,\\A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi =&N,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae416953fe70a4603103a13dc0460301f537efe0)
il viendra
![{\displaystyle \qquad (A-M)\lambda ^{2}+(M-N)\lambda -(B-N)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcaeeaeb937494574a27422905e055cecb3de97)
d’où
la première des deux équations en
et
donnera ensuite
![{\displaystyle r={\frac {A}{1+(\lambda -1)\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi \right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046f6f21d3f37b54f87d5ccba4d73396220e1ea2)
Si, par exemple on suppose
on trouvera
Remarques. L’auteur du problème proposé a eu raison de demander que les rayons forment une progression géométrique, parce qu’alors les changemens de courbure, d’un arc à l’autre, suivent le même rapport ; mais il n’a pas été aussi bien fondé à exiger que les arcs soient semblables ; en effet, dans ce cas, les longueurs des arcs