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PROBLÈMES.
![{\displaystyle {\begin{aligned}bP=&r\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi ),\\bQ=&r\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi ),\\bP'=&r'\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi '),\\bQ'=&r'\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi '),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd521c14500505efe55531cd76e1e5bed88084c7)
nous en déduirons
![{\displaystyle \mathrm {b} ^{2}(PQ'-P'Q)=rr'\operatorname {Sin} .(\phi '-\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54d96302c76e882b260e3a6833ce577e0d702a9)
ce qui devient, en réduisant
![{\displaystyle PQ'-P'Q=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4413dcae6ba017dacb8c02a9b9eb99aec1e37606)
De plus, nous avons (77)
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )=(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c2d974ba4db073a11983cb7232c228deb27d72)
ce qui devient, en remplaçant l’angle
par son sinus
![{\displaystyle {\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )=\operatorname {Sin} .(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f5e636d064e20011a71b156720864c9f1786a2)
Il en résulte
![{\displaystyle PQ'-P'Q={\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )\operatorname {Cos} .\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15278d52cd3ea753921f2a9e40a97d89ca7e47cd)
On aura de même
![{\displaystyle P'Q''-P''Q'={\frac {p}{q}}(\theta ''-\theta ')\operatorname {Cos} .\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03d4ad5784011abdf9a2657d90c55169ca3daf3)
![{\displaystyle PQ''-P''Q={\frac {p}{q}}(\theta ''-\theta )\operatorname {Cos} .\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a593025959a1bf548ed1cf6a62988335cdbaad6)
d’où l’on tire
La dernière peut être appliquée, sans erreur sensible, à tout angle moindre que 90°.
Ces approximations, qu’il serait facile de pousser plus loin, peuvent, dans certains cas, dispenser de l’usage des tables, et donner lieu à d’autres applications utiles. Elles donnent en particulier des approximations faciles du nombre
et c’est même dans cette vue que Snellius s’était occupé de la formule ![{\displaystyle {\frac {\psi }{\operatorname {Sin} .\psi }}={\frac {3}{2+\operatorname {Cos} .\psi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e30e212500d4fe0f1941edd6a6013c00c0a8a4)