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PROBLÈMES.
86. Pour présenter ces développemens sous la forme la plus simple, nous ferons d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\,-\theta \ =&t,\\\theta ''-\theta '=&t',\\\theta ''-\theta \ =&h,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45737af9c82eea1b374eb9b9a1747af8526b42fe)
de manière que
ces trois lettres désigneront ainsi les intervalles des temps. De plus, nous désignerons les trois dénominateurs par
de manière que
![{\displaystyle {\begin{aligned}D\ \,&=\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A\ \,)\operatorname {Cot} .B,\\D'\,&=\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A'\,)\operatorname {Cot} .B',\\D''&=\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A'')\operatorname {Cot} .B'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3838f081433606c73355d93ca191ddb32ab62c88)
Enfin nous emploîrons les lettres
pour exprimer les trois différences de produit qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{aligned}M=&\operatorname {Sin} .(\theta \ -A\ )\operatorname {Sin} .(\theta '\,-\delta )\operatorname {Cot} .B-\operatorname {Sin} .(\theta '\,-A'\,)\operatorname {Sin} .(\theta \ -\delta )\operatorname {Cot} .B'\,,\\N=&\operatorname {Sin} .(\theta \ -A\ )\operatorname {Sin} .(\theta ''-\delta )\operatorname {Cot} .B-\operatorname {Sin} .(\theta ''-A'')\operatorname {Sin} .(\theta \ -\delta )\operatorname {Cot} .B'',\\O=&\operatorname {Sin} .(\theta '-A')\operatorname {Sin} .(\theta ''-\delta )\operatorname {Cot} .B-\operatorname {Sin} .(\theta ''-A'')\operatorname {Sin} .(\theta '-\delta )\operatorname {Cot} .B'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5420bf54bf253cdd9009bf27618750a8901cf61)
87. En faisant usage de ces notations, on aura, de la manière suivante, les développemens qu’on demandait, savoir :
![{\displaystyle {\begin{aligned}D\ D'\,(P\ Q'\ -P'\ Q\ )=&\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .t+M\operatorname {Sin} .\beta ,\\D\ D''(P\,\ Q''-P''Q\ )=&\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .h+N\operatorname {Sin} .\beta ,\\D'D''(P'Q''-P''Q')=&\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .t'+O\operatorname {Sin} .\beta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b3eda6239250c35edd95d0dcdfb3f3acfadfd1)
88. Reste donc simplement à substituer les expressions que nous venons d’obtenir dans les égalités (84), savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}h(P\ \,Q'\,-P'\,Q\ )=&t\ (PQ''-P''Q),\\h(P'Q''-P''Q')=&t'(PQ''-P''Q).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b8cbe4c5dae5a7410dd8bafc65865be2ceaf8b)
En mettant ici à la place de
leurs valeurs respectives, tirées de (86) ; ensuite à la place de ![{\displaystyle PQ'-P'Q,\ P'Q''-P''Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef7a79984afde3f3de64c9d253b44d365483164)