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PROBLÈMES

${\begin{array}{lll}&+Mru^{2}v\left(pu^{3}-qr^{2}\right)&+pNu^{3}v^{3}r(1+r)\\&+3npru^{3}vxs&\\&-2nqr^{2}u^{2}vys&-2nhqr^{2}uv^{2}xs.\\\end{array}}$

152. Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{array}{lll}F&=-mrxs-\varepsilon u^{2}ys&+3nrxs-r(1+r)ys-\varepsilon (1+r)v^{2}xs,\\&&+Mru^{2}+Nr(1+r)v^{2},\\G&=F+H+2n(1+r)&v^{2}xs,\\H&=-mrxs-\varepsilon u^{2}ys&+2nu^{2}ys+Mru^{2}\,;\\\end{array}}$

on aura finalement

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} \lambda }}&={\frac {u^{m-1}r^{\varepsilon -1}v}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n+2}}}\left(p^{2}u^{6}F-pqr^{2}u^{3}G+q^{2}r^{4}H\right)\\&={\frac {p^{2}u^{m+5}r^{\varepsilon -1}vF-pqu^{m+2}r^{\varepsilon -1}vG+q^{2}u^{m-1}r^{\varepsilon }+3vH}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{n+2}}}\\\end{aligned}}$

153. Les trois coefficiens $F,G,H,$ sont des fonctions rationnelles et entières de $x$ et $y.$ On trouve, en les développant,

$F=(3n-m-2\varepsilon )xs-(\varepsilon +2)ys+(m-3n+2\varepsilon )x^{2}ys+(2\varepsilon +3)xy^{2}s$

$-(\varepsilon +1)x^{2}y^{3}s+ru^{2}M+r(1+r)v^{2}N,$

$G=(2n-2m-2s)xs+(2n-2\varepsilon -2)ys+(2m-7n+3\varepsilon )x^{2}ys$

$+(2\varepsilon -4n+3)xy^{2}s+(2n-\varepsilon -1)x^{2}y^{3}s+2Mru^{2}+Nr(1+r)v^{2},$

$H=-mxs+(2n-\varepsilon )ys+(m-2n+\varepsilon )x^{2}ys+Mru^{2}.$

On peut remarquer que la première de ces trois fonctions, savoir $F,$ est divisible par $r=1-xy$ ; on trouve

${\frac {F}{r}}=(3n-m-2\varepsilon )xs-(\varepsilon +2)ys+1(\varepsilon +1)xy^{2}s+u^{2}M+(1+r)v^{2}N.$

Exemple I. Ayant trouvé