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DE LA LIGNE DROITE
En observant que, d’après les valeurs de
en
on a
![{\displaystyle dA+eB+fC=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc6f2bd7be91d96d588b370597f9443a210b97c)
![{\displaystyle gA+hB+kC=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba0a30de60a90d845869bdbeff545f421f02fb7)
les équations (12) donneront encore
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}d\operatorname {Sin} .(pq,x)+e\operatorname {Sin} .(pq,y)+f\operatorname {Sin} .(pq,z)=0,\\g\operatorname {Sin} .(pq,x)+h\operatorname {Sin} .(pq,y)+k\operatorname {Sin} .(pq,z)=0.\\\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc83103887a7435e0211c4a5367587a2193cb18a)
(16)
La comparaison des équations (13) et (14) donne
![{\displaystyle a={\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}},\qquad b={\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}},\qquad c={\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d699a01860204d6bd5c780f38945fa3bdd30d7)
(17)
Si l’on substitue ces valeurs dans la relation (3), on arrivera à ce théorème
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}}\operatorname {Cos} .(r,x)+{\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}}\operatorname {Cos} .(r,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbae999c399d47738a6604cc6f0ef47964deb483)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}\operatorname {Cos} .(r,z)=1.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f22fdb553ae0624ff704b952560ad124aa0dfc8)
(18)
Si l’on substitue ces mêmes valeurs dans la formule (5), on aura
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(r,r')={\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}}\operatorname {Cos} .(r',x)+{\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}}\operatorname {Cos} .(r',y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8657c7b21a217abf166126044e48a49e94266228)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}\operatorname {Cos} .(r',z).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e867ad327164d53f547fdc52ff137a41ec8fbd0f)
(19)
En les substituant enfin dans la formule (15) on obtient
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(pq,r)={\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}}\operatorname {Sin} .(pq,x)+{\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}}\operatorname {Sin} .(pq,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8f7dd23db3d87c5e36c60b18e6a5adcfcd408b)
![{\displaystyle +{\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}\operatorname {Sin} .(pq,z).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed17666adc0e78dff0619502bcec36602e10eb7)
(20)
Occupons-nous, en dernier lieu, de la recherche de l’angle de deux plans
Le cosinus de cet angle n’est autre que le cosinus de deux droites
qui seraient respectivement pendiculaires à ces deux plans. On aura donc, (1) et (10),