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DES DÉRIVATIONS.
les n.os 6 et 7, ![{\displaystyle \operatorname {D} .\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{1},\operatorname {D} ^{2}.\phi a=\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2},\operatorname {D} ^{3}.\phi a=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1f91208e50330e379c5a40f3ea020cd4aca787)
![{\displaystyle \operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546616b6d707fbea1248c819e400b44856391c23)
En substituant ces valeurs dans l’équation (25), on obtient
(53)
![{\displaystyle \qquad \phi \left(a+a_{1}x\right)=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.a_{1}^{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdc5b7ec3b471eaeee4fdf289db9a367987fc9d)
![{\displaystyle +{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41662ac0a4df79509485f2d7a592087c8e058014)
résultat identique avec celui qu’on aurait obtenu en mettant
à la place de
dans le théorème de Taylor.
Supposons maintenant que
devienne
: les puissances de
se changeront en puissances de
qui, étant elles-mêmes des fonctions de binôme, peuvent être développées comme les équations (52) et (53) ; mais, dans ce cas, ces formules se termineront, parce que ![{\displaystyle \operatorname {D} a_{1}=a_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7e8b88320ba2b5a3d5f947627ec53c78820e35)
donnent, en général,
et
Substituant donc, avec cette attention,
pour
dans l’équation (53), on obtient
![{\displaystyle \phi \left\{a+x\left(a_{1}+a_{2}x\right)\right\}=\phi a+\operatorname {D} \phi a\left(a_{1}+\operatorname {D} a_{1}x\right)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6788913932ec73dc806d79eff25139d017af5a1)
![{\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a\left(a_{1}^{2}+\operatorname {D} .a_{1}^{2}x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{2}.x^{2}\right)x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c8631f257d02c7fae892e644001ec087423170)
![{\displaystyle +{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a\left(a_{1}^{3}+\operatorname {D} .a_{1}^{3}x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{3}.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{1}^{3}.x^{3}\right)x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea3fbf08cf10683302fefd10a51f53ccad7300)
En effectuant les dérivations indiquées, d’après les règles ordinaires de la différentiation, et remplaçant
par
cette équation devient
![{\displaystyle \phi \left\{a+x\left(a_{1}+a_{2}x\right)\right\}=\phi a+\operatorname {D} \phi a\left(a_{1}+a_{2}x\right)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98279098d895f5dfd6dde005223e52e49aada021)
![{\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a\left(a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}x+.a_{2}^{2}x^{2}\right)x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fb9a8a39cd66cb85d47bcdb9f252d95e46df3b)
![{\displaystyle +{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a\left(a_{1}^{3}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{1}a_{2}^{2}.x^{2}+a_{2}^{3}.x^{3}\right)x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da70123187a32255e72656c4ab018bdc1251e8d0)
En ordonnant cette équation par rapport aux puissances de
on obtient
(54)
![{\displaystyle \phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x+\left(\operatorname {D} \phi a.a_{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2}\right)x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21415a70660f0a73909aab9f62060993d44b84ff)
![{\displaystyle +\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}a_{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}\right)x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc935cb0dc680a87c46d50750a466be52e862015)
![{\displaystyle +\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{2}^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.3a_{1}^{2}a_{2}+{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.a_{1}^{4}\right)x^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becafb9319a4f67283b72a48370cd214cb88e34c)
Si l’on suppose ensuite que
devienne
l’équation précédente deviendra, d’après les mêmes principes,
![{\displaystyle \phi \left\{a+a_{1}x+x^{2}\left(a_{2}+a_{3}x\right)\right\}=\phi a+\operatorname {D} \phi a.a_{1}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ece4fbed6e8cc15ac9d46e91758e3ebdc8648d9)
![{\displaystyle +\left\{\operatorname {D} \phi a\left(a_{2}+\operatorname {D} a_{2}.x\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.a_{1}^{2}\right\}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b262912bfdeca5f3210965f1658eb65b265b7b79)
![{\displaystyle +\left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.2a_{1}\left(a_{2}+\operatorname {D} a_{2}.x\right)+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.a_{1}^{3}\right\}x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4935bc65387b3fec4763730c3c2a294a7945f2)
![{\displaystyle +\left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(a_{2}^{2}+\operatorname {D} .a_{2}^{2}.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{2}^{2}x^{2}\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0f4310b2ad086a680c4dea6cc70cb8e39aac6b)
![{\displaystyle \left.+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.3a_{1}^{2}\left(a_{2}+\operatorname {D} a_{2}.x\right)+{\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.a_{1}^{4}\right\}x^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae9ab44c25cb3fbfdd432ae43ad8b1fd6d4b034)