127
RÉSOLUES.
intégrant entre
et
et désignant par
la durée d’une oscillation entière, on trouvera[1]
![{\displaystyle 2T=\varpi {\sqrt {\frac {a}{\operatorname {g} }}}.{\frac {1}{\operatorname {Sin} .\alpha }}.\left(1+A_{1}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +A_{2}\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\alpha +A_{3}\operatorname {Sin} .^{6}{\tfrac {1}{2}}\alpha +\ldots \right)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4150fea271181c7af33b5479f54a79581deba1)
(4)
les coefficiens
étant donnés par la loi suivante
![{\displaystyle A_{n}=\left\{{\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}}\right\}^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3dde00fd837039c3921d425f782b4193445b68)
(5)
En considérant
comme fonction de
différentiant l’équation (4) sous ce point de vue et égalant
à zéro, on trouvera, toutes réductions faites,
![{\displaystyle 1=B_{1}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha +B_{2}\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\alpha +B_{3}\operatorname {Sin} .^{6}{\tfrac {1}{2}}\alpha +\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92ef5ee9e77d7a845681ad0025f77833daaeb3c)
(6)
équation dans laquelle les coeffiens
sont donnée par la loi suivante.
![{\displaystyle B_{n}={\frac {4n^{2}+8n-1}{4n^{2}-4n+1}}.A_{n}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90de96fd72bad4cf0ab2e302fabb1866a6a72ac)
(7)
L’équation (6) n’est point susceptible de résolution exacte ni directe, en la traitant par le retour des suites, on trouve à peu près
d’où
et
l’équation (4) donne ensuite
Mais cette valeur de
est-elle bien réellement un minimum ?
Pour répondre à cette question nous remarquerons d’abord que,
- ↑ Voyez, pour les détails de l’intégration, le Traité de mécanique de M. Poisson ; tome I, page 415.
J. D. G.