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DE LA CYCLOÏDE.

au moyen de quoi nous aurons

$\left.{\begin{aligned}x+x'&=\varpi r,\\y+y'&=2r\,;\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} x+\operatorname {d} x'&=0,\\\operatorname {dy} +\operatorname {d} y'&=0,\end{aligned}}\right.$

Nous poserons en outre

$\operatorname {Ang} .\mathrm {DCM} =2z,\qquad \operatorname {Ang} .\mathrm {D'CM} =2z',$

ce qui donnera

$2(z+z')=\varpi ,\qquad$d’où$\qquad \operatorname {d} z+\operatorname {d} z'=0.$

Cela posé, nous aurons

${\begin{array}{lllll}Arc.\mathrm {MD} &=2rz,&Cord.\mathrm {MD} &=2r\operatorname {Sin} .z&=2r\operatorname {Cos} .z',\\Arc.\mathrm {MD'} &=2rz',&Cord.\mathrm {MD'} &=2r\operatorname {Sin} .z'&=2r\operatorname {Cos} .z.\end{array}}$

Nous aurons encore

$\mathrm {PD=P'D'=MN} =r\operatorname {Sin} .2z=2r\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z=2r\operatorname {Sin} .z'\operatorname {Cos} .z',$

$\mathrm {CN} =r\operatorname {Cos} .2z=r\left(\operatorname {Cos} .^{2}z-\operatorname {Sin} .^{2}z\right)=r\left(\operatorname {Sin} .^{2}z'-\operatorname {Cos} .^{2}z'\right)$

mais, par la nature de la cycloïde,

$\mathrm {OP=OD-DP} =Arc.\mathrm {MD-MN} ,$

$\mathrm {MP=ND=CD-CN} \,;$

donc, en substituant,

$\left.{\begin{aligned}x&=2r(z-\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z),\\\\y&=2r\operatorname {Sin} .^{2}z\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}x'&=2r(z'+\operatorname {Sin} .z'\operatorname {Cos} .z'),\\\\y'&=2r\operatorname {Sin} .^{2}z'\,;\end{aligned}}\right.$

donc encore

${\begin{array}{ll}\operatorname {d} x=4r\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{2}z,&\operatorname {d} x'=4r\operatorname {d} z'\operatorname {Cos} .^{2}z',\\\operatorname {d} y=4r\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .z\operatorname {Cos} .z,&\operatorname {d} y'=4r\operatorname {d} z'\operatorname {Sin} .z'\operatorname {Cos} .z'.\end{array}}$

De là on passerait facilement aux équations primitive et différentielle de la courbe, soit en $x$ et $y$ soit en $x'$ et $y'\,;$ mais elles ne nous seront pas nécessaires.

Pour la commodité typographique, nous poserons encore