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QUESTIONS
Si, au lieu de diviser
en parties égales, on l’eût divisée en parties proportionnelles à des nombres donnés quelconques, les parallèles à la base, au lieu de diviser l’aire du triangle en parties égales, l’auraient divisée en parties proportionnelles à ces même nombres.
Le premier cas n’étant même qu’un cas particulier de ce dernier, c’est celui-ci qu’il suffira de démontrer. Il est évident d’ailleurs que tout se réduit à savoir diviser l’aire d’un triangle, par une parallèle à sa base en deux parties qui aient entre elles un rapport donné, celui de
à
par exemple.
Démonstration. Tout étant dans la figure 6 comme dans la figure 5, si ce n’est que
est le milieu de
que
est partagée en
en deux parties
proportionnelles à
et
que
est le centre d’un demi-cercle
coupant la hauteur en
et qu’enfin
est la parallèle à
conduite par
soient
les deux segmens du triangle.
Nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {M+N=ASB} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} \times \mathrm {SH} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee3094c796426085bda060c0c4236fdceeac2aa)
![{\displaystyle \mathrm {N=FSG=ASB} .{\frac {{\overline {\mathrm {SL} }}^{2}}{{\overline {\mathrm {SH} }}^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} .{\frac {{\overline {\mathrm {SL} }}^{2}}{\mathrm {SH} }}={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB} .{\frac {\mathrm {SD\times SK} }{\mathrm {SH} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7efaad17b9a3c3d442bfd1923ba22a46ac2b91)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB.SK} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AB(DK-SD)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f499bb0c93068e17bec3cfa90ce5c4a94331f7)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \mathrm {M+N=AB} \times \mathrm {SC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a410ca25d514fcce1fb5593c7d7026c350a2bbd1)
![{\displaystyle \mathrm {N=AB\times (DE-SC)=AB\times (DE-DC)=AB\times CE} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f653d0c28a28ec878daad45212ad3a1d94f24d2)
donc, en retranchant,