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CALCUL

Passant donc aux notations dérivatives, en supprimant les dénominateurs, nous aurons

$\operatorname {D} .\phi \operatorname {f} \alpha =\operatorname {D} \phi \operatorname {f} \alpha .\operatorname {D} \phi \operatorname {f} \alpha ,$

$\operatorname {D^{2}} \phi \operatorname {f} \alpha =\operatorname {D} \phi \operatorname {f} \alpha .\operatorname {D^{2}} \phi \operatorname {f} \alpha +\operatorname {D^{2}} \phi \operatorname {f} \alpha .\left(\operatorname {Df} \alpha \right)^{2},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

et

$\operatorname {D} .\phi a=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} a,$

$\operatorname {D^{2}} \phi a=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D^{2}} a+\operatorname {D^{2}} \phi a.\operatorname {D} a^{2},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Le développement de ces deux premières dérivées suffit pour expliquer la différence qui existe entre les dérivées sans point et celles qui sont suivies d’un point ; entre $\operatorname {D} \phi a,\operatorname {D^{2}} \phi a,\ldots$ et $\operatorname {D} .\phi a,\operatorname {D^{2}} .\phi a,\ldots$ Les premières sont les dérivées de $\phi a,$ en supposant $\operatorname {D} a=1,\ \operatorname {D^{2}} a=0,$ $\operatorname {D^{3}} a=0,\ldots ,$ et les autres sont les dérivées de $\phi a,$ en supposant que $a$ est fonction de $\alpha ,$ que ses dérivées successives sont $\operatorname {D} a,\operatorname {D^{2}} a,\operatorname {D^{3}} a,\ldots ,$ et qu’elles ne sont pas toutes égales à zéro. En un mot, les dérivées sans point, $\operatorname {D} \phi a,\operatorname {D^{2}} \phi a,\ldots$ sont les coefficiens du développement de $\phi (a+x)$ et les dérivées suivies d’un point $\operatorname {D} .\phi a,\operatorname {D^{2}} .\phi a,\ldots$ sont les coefficiens du développement de $\phi \left(a+\operatorname {D} a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D^{2}} a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D^{3}} a.x^{3}+\ldots \right)$

7. En exécutant, d’après la remarque précédente, les opérations indiquées par les dérivées suivies d’un point, on obtient pour les six premières, en suivant les règles ordinaires de la différenciation, lorsqu’aucune différentielle n’est constante :

${\begin{aligned}\operatorname {D} .\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} a,\\\operatorname {D} ^{2}.\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} ^{2}a+\operatorname {D} ^{2}\phi a.\operatorname {D} a^{2},\\\operatorname {D} ^{2}.\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} ^{2}a+\operatorname {D} ^{2}\phi a.\operatorname {D} a^{2},\\\operatorname {D} ^{3}.\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} ^{3}a+\operatorname {D} ^{2}\phi a.3\operatorname {D} a\operatorname {D} ^{2}a+\operatorname {D} ^{3}\phi a\operatorname {D} a^{3},\\\operatorname {D} ^{4}.\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} ^{4}a+\operatorname {D} ^{2}\phi a\left[4\operatorname {D} a\operatorname {D} ^{3}a+3\left(\operatorname {D} ^{2}a\right)^{2}\right]+\operatorname {D} ^{3}\phi a.6\operatorname {D} a^{2}\operatorname {D} ^{2}a+\operatorname {D} ^{4}\phi a.\operatorname {D} a^{4},\\\operatorname {D} ^{5}.\phi a&=\operatorname {D} \phi a.\operatorname {D} ^{5}a+\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(5\operatorname {D} a\operatorname {D} ^{4}a+10\operatorname {D} ^{2}a\operatorname {D} ^{3}a\right)+\operatorname {D} ^{3}\phi a\left[10\operatorname {D} a^{2}\operatorname {D} ^{3}a+15\operatorname {D} a\left(\operatorname {D} ^{2}a\right)^{2}\right],\\&+\operatorname {D} ^{4}\phi a.10\operatorname {D} a^{3}\operatorname {D} ^{2}a+\operatorname {D} ^{5}\phi a.\operatorname {D} a^{5},\\\end{aligned}}$