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Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/84

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CALCUL

Pour en déduire celui du même terme dans je fais d’abord varier les ce qui donne faisant ensuite varier les dans le dernier terme on a, d’après la première partie de la règle du n.o 8, et d’après la seconde partie de cette règle Rassemblant tous ces termes, on a le coefficient de dans

2.o En appliquant la seconde partie de la règle ci-dessus aux cinq termes de la dernière colonne de on obtient les cinq premiers termes de la dernière colonne de  ;

3.o Enfin, en appliquant la troisième partie de la règle ci-dessus au dernier terme de la dernière colonne de on obtient le dernier terme de la dernière colonne de

Cette règle est encore d’une exécution très-facile, et si expéditive qu’on peut écrire de suite, et sans s’arrêter, les termes successifs du développement. Elle n’est, jusqu’à présent, de même que celle du n.o 8, qu’une conclusion d’induction ; mais nous la démontrerons complètement dans la suite, et nous donnerons aussi une règle très-simple, pour écrire immédiatement un terme quelconque du développement, indépendamment de ceux qui le précèdent.

16. Remarque I. En examinant la composition des termes successifs (18) du développement de l’équation (15), on découvre la loi remarquable suivante qui y règne. Le terme général est composé de colonnes, ordonnées selon les dimensions des exposans des dérivées de et de manière que la m.me colonne contient les termes

Chacun de ces termes a pour coefficient une fonction des quantités polynômiales dont voici la formation : en supposant , le coefficient du terme est composé de tous les produits de lettres, dont un nombre des