Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/108

104

FORMULES

La solution de ce problème sera aussi celle du problème de l’intégration des fonctions d’une seule variable, entre des limites, données ; puisque intégrer $X\operatorname {d} x,$ c’est quarrer la courbe qui a pour équation $y=X.$

Solution. Soient en général $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots y_{n}$ les ordonnées connues et équidistantes de la courbe $y=X$ qu’il s’agit de quarrer entre les limites $y_{0}$ et $y_{n}.$ Pour plus de simplicité, prenons pour unité l’intervalle commun qui sépare les ordonnées consécutives, et supposons que la première $y_{0}$ réponde à l’abcisse $x=0.$ Soit enfin $S$ l’aire cherchée $=\int X\operatorname {d} x.$

Pour fixer les idées, supposons les ordonnées données au nombre de sept seulement. Ce que «ous dirons de ce cas particulier pourra facilement s’appliquer à tout autre.

1^o.  Je remarque que, quelle que soit la valeur de chacun des coefficiens de la formule que nous cherchons, les ordonnées également éloignées des extrêmes doivent y jouer le même rôle ; puisque la première peut être prise pour la dernière, et vice versa ; ainsi ; par exemple, $y_{2}$ et $y_{4}$ doivent avoir le même coefficient.

Cette observation réduit de moitié le nombre des coefficiens à trouver, et prouve que la formule doit être de cette forme :

$S=A(y_{0}+y_{6})+B(y_{1}+y_{5})+C(y_{2}+y_{4})+Dy_{3}.\qquad$(F)

2^o.  Les coefficiens inconnus $A,B,C,D,$ doivent être tels que, quand la courbe proposée $y=X$ est quarrable, la formule (F) donne, pour l’aire $S,$ une valeur numérique, connue et exacte. Ainsi, il est nécessaire et suffisant que ces coefficiens satisfassent à quatre cas particuliers, que l’on pourra d’ailleurs prendre d’une infinité de manières différentes ; mais parmi lesquels on fera bien de choisir les plus simples, pourvu qu’elles soient distinctes et qu’elles ne soient pas comportées les unes par les autres.

3^o. Supposons, pour premier cas particulier, que la ligne à quarrer est une droite, parallèle à l’axe des $x,$ dont elle est éloignée de la quantité 1. L’intervalle entre les ordonnées extrêmes étant 6,