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SUR LES POLYGONES.
PROBLÈME II. Entre tous les quadrilatères qui ont les mêmes côtés, se succédant dans le même ordre, quel est celui qui a la plus grande ou la moindre surface ?
Solution. Tout se réduit évidemment à trouver la valeur de
qui rend maximum ou minimum la quantité
![{\displaystyle {\sqrt {4a^{2}b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-x^{2}\right)^{2}}}+{\sqrt {4c^{2}d^{2}-\left(c^{2}+d^{2}-x^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cd3559291382948dc1c62d0b7fb28b42dbf7af)
égalant donc sa différentielle à zéro, il viendra
![{\displaystyle Cos.\mathrm {AOB} =Cos.\mathrm {COD} =-Cos.\mathrm {BOC} =-Cos.\mathrm {DOA} =\operatorname {Cos} .\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864e8d40fa5e5d45356e2895e31628d5516e4d4b)
et ensuite
![{\displaystyle 4k^{4}=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \delta +\delta \alpha )\operatorname {Sin} .\theta \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5021469db0cb0637908407152347c07592369a)
(1)
nous auron de plus
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}2\alpha \beta \operatorname {Cos} .\theta &=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-a^{2},\\2\beta \gamma \operatorname {Cos} .\theta &=b^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2},\\2\gamma \delta \operatorname {Cos} .\theta &=\gamma ^{2}+\delta ^{2}-c^{2},\\2\delta \alpha \operatorname {Cos} .\theta &=d^{2}-\delta ^{2}-\alpha ^{2}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f92e34c3cc66ba8d340bcf9e840723d2bc0ffb)
multipliant alors la somme de ces quatre dernières équations par l’équation (1), il viendra, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \operatorname {Cot} .\theta ={\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{4k^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa1ec3c111ed46126552d1e48c4d8c8a7e048e1)
J. D. G.