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PROBLÈME
; de sorte que (38) monterait à l’ordre
et ainsi
de suite. On aperçoit qu’en général on pourra toujours déterminer
une courbe parabolique qui, aux
points d’intersection, ait à la fois un nombre donné
de contacts d’ordres successifs, et que cette
courbe sera de l’ordre ![{\displaystyle mn+m-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d44da8ce3635c1608ed412f615456bf169f133)
Supposons, pour donner un exemple, qu’ayant divisé l’intervalle
des limites en
parties égales, on veuille faire passer une courbe
parabolique par les sommets des quatre ordonnées
et
que de plus, à ces points, les deux courbes aient des tangentes
communes. Je prends les trois premières (48, 49), bornées au
coefficient
inclusivement ; je détermine, par leur moyen, les
six coefficiens
je substitue dans (50) et je
trouve enfin
![{\displaystyle Z={\frac {465(\alpha +\delta )+1215(\beta +\gamma )+57(\alpha '-\delta ')-81(\beta '-\gamma ')}{1120}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c167880fb2b4170e4d7f62fceb1dd74dc8d3d3f)
(51)
Faisons l’application de cette formule au logarithme de
; puisque l’intervalle est divisé en trois unités ; il faut faire
pour avoir
Cela posé, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\alpha &={\frac {1}{3}},&\quad \beta &={\frac {1}{4}},&\quad \gamma &={\frac {1}{5}},&\quad \delta &={\frac {1}{6}}\,;\\\\\alpha '&=-{\frac {1}{9}},&\beta '&=-{\frac {1}{16}},&\gamma '&=-{\frac {1}{25}},&\delta '&=-{\frac {1}{36}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76c03808f3a8a95071f3c4eab4cac90343df7fa)
d’où
![{\displaystyle \alpha +\delta =-{\frac {1}{2}},\quad \beta +\gamma =-{\frac {9}{20}},\quad \alpha '-\delta '=-{\frac {1}{12}},\quad \beta '-\gamma '=-{\frac {9}{400}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a230eadfbf1d0f9841e12f20ed8017b3a2abcbbb)
valeurs qui, substituées dans (51), donnent
![{\displaystyle \operatorname {Log} .2=0{,}693145\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21cef430d3fa5a14a980a426910b5bcf62a1840)
expression exacte, jusqu’à la cinquième décimale, Inclusivement.
La formule (51) se vérifie d’ailleurs facilement, en faisant