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QUESTIONS

tité sous le signe ne soit un quarré parfait ; $f$ doit donc être telle qu’on ait

$\left(2f+B.{\frac {2+k^{2}}{2}}\right)^{2}=4(1+k)\left(f^{2}+{\frac {B^{2}k^{2}}{16}}\right)\,;$

ou, en développant et ordonnant

$16k^{2}f^{2}-8B\left(2+k^{2}\right)f-B^{2}(4+3k^{2})=0,$

d’où on tire pour $f$ ces deux valeurs

$f=-{\tfrac {B}{4}},\qquad f={\frac {3B\left(1+k^{2}\right)}{4k^{2}}}$

dont la première est évidemment l’abscisse du foyer de la parabole donnée ; donc, en effet, ce foyer est aussi un de ceux de l’hyperbole qui nous occupe.

Pour compléter le rapprochement entre ces deux courbes, nous allons faire voir qu’elles ont une directrice commune, correspondant précisément au foyer ci-dessus.

La directrice d’une section conique, répondant à l’un de ses foyers, n’est autre chose, comme l’on sait, que la polaire même de ce foyer ; ce caractère la distinguant de toute autre droite tracée sur le plan de cette courbe, il parait convenable de la désigner par l’expression de polaire focale qui en rappelle la nature d’une manière plus complète et plus absolue que le mot commun et générique de directrice, et c’est ainsi que nous en userons dans ce qui va suivre. Afin de déterminer cette polaire, dans le cas actuel de l’hyperbole trouvée, soient $x',y'$ les coordonnées d’un point quelconque, considéré comme pôle ; l’équation de la polaire qui lui correspond sera évidemment^[1]

1. Ici, comme dans tout ce qui va suivre, je suppose que l’on ait une connaissance parfaite de la Théorie analitique des pôles, exposée par M. Gergonne, à la page 293 du tome III.^me  de ce recueil.
   (Note de l’auteur).